1)  До­ка­жем, что пря­мая TO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти A₁B₁C. Точка O лежит в плос­ко­сти TCD, D  — се­ре­ди­на AB. Спро­еци­ру­ем точку O на плос­кость TBC, ее про­ек­ция O₁  — центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка TBC₁ окруж­но­сти. Пря­мая TO₁  — про­ек­ция TO на плос­кость TBC. До­ка­жем, что

По­сколь­ку

то тре­уголь­ник TB₁C₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку TBC, и До­ка­жем, что то есть F  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых TO₁ и B₁C. По свой­ству впи­сан­ных углов имеем:

Пусть TP  — диа­метр рас­смат­ри­ва­е­мой окруж­но­сти. Тогда

Зна­чит,

Таким об­ра­зом,

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что про­ек­ция TO на плос­кость TAC пер­пен­ди­ку­ляр­на A₁C. Со­глас­но тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, TO также будет пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым B₁C и A₁C, ле­жа­щим в плос­ко­сти A₁B₁C, сле­до­ва­тель­но,

2)  Обо­зна­чим через a длину сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды Обо­зна­чим через b длину бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды TABC,

Пусть TH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды TABC. Тогда В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды TA₁B₁C лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник A₁B₁C, D₁C  — его вы­со­та, D₁  — се­ре­ди­на A₁B₁. Вы­со­та TL пи­ра­ми­ды TA₁B₁C, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны T лежит на пря­мой TO. Для вы­чис­ле­ния объ­е­ма пи­ра­ми­ды TA₁B₁C нужно найти D₁C и TL.

На бо­ко­вом ребре TC от­ме­тим точки K и S так, что Тогда

Пусть Тогда

Итак, объем пи­ра­ми­ды TA₁B₁C вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

и

Ответ: