РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8677 Добавить в вариант

Найдите наибольшее значение выражения $x плюс y,$ где x, y  — решения в целых числах уравнения $3 x в квадрате плюс 5 y в квадрате =345.$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что 345 и 5y² делятся на 5, тогда и 3x² должно делиться на 5. Следовательно, $x=5 t,$ $t принадлежит Z .$ Аналогично, $y=3 n,$ $n принадлежит Z .$ После сокращения, уравнение примет вид $5 t в квадрате плюс 3 n в квадрате =23.$ Следовательно, $t в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 23, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $n в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 23, знаменатель: 3 конец дроби$ или $|t| меньше или равно 2,$ $|n| меньше или равно 2.$ Перебрав соответствующие значения t, n, получим, что $|t|=2,$ $|n|=1$ или

$система выражений x_1= минус 10, y_1= минус 3; конец системы .$ $система выражений x_2= минус 10, y_2=3; конец системы .$ $система выражений x_3=10, y_3= минус 3; конец системы .$ $система выражений x_4=10, y_4=3. конец системы .$

Наибольшее значение выражения $x плюс y$ равно $10 плюс 3=13.$

Ответ: 13.

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2022 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения

Спрятать решение · Помощь