Плос­ко­сти ос­но­ва­ний ABC и A₁B₁C₁ приз­мы пе­ре­се­ка­ют сферу по окруж­но­стям, опи­сан­ным около пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁; пусть их цен­тры  — точки O и O₁ со­от­вет­ствен­но.

Легко по­ка­зать, что се­ре­ди­на M от­рез­ка OO₁ яв­ля­ет­ся цен­тром сферы (см. рис.).

Про­ве­дем через точку C₁ диа­метр C₁D окруж­но­сти с цен­тром в точке O₁.По­ка­жем, что CD  — диа­метр сферы. Дей­стви­тель­но, плос­кость CC₁D пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям ос­но­ва­ния и, зна­чит, вме­сте с точ­кой O₁ со­дер­жит от­ре­зок OO₁. Так как C₁D  =  2DO₁, пря­мая CD пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок OO₁ в его се­ре­ди­не, т. е. в цен­тре M за­дан­ной сферы.

Пусть D₁  — про­ек­ция точки D на плос­кость ос­но­ва­ния ABC, вы­со­та приз­ма равна h, a ра­ди­у­сы окруж­но­стей с цен­тра­ми O и O₁ равен r. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KA₁D и LDD₁. Учи­ты­вая, что (тре­уголь­ник A₁O₁D рав­но­сто­рон­ний), по т. Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний

Решая си­сте­му, на­хо­дим, что Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния равна его пло­щадь и, сле­до­ва­тель­но, объем приз­мы

Ответ: