сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В сферу ра­ди­у­са 6 впи­са­на пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 с ос­но­ва­ни­ем ABC и бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA1, BB1, CC1. От­ре­зок CD  — диа­метр этой сферы. Найти объем приз­мы, если AD=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Плос­ко­сти ос­но­ва­ний ABC и A1B1C1 приз­мы пе­ре­се­ка­ют сферу по окруж­но­стям, опи­сан­ным около пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков ABC и A1B1C1; пусть их цен­тры  — точки O и O1 со­от­вет­ствен­но.

Легко по­ка­зать, что се­ре­ди­на M от­рез­ка OO1 яв­ля­ет­ся цен­тром сферы (см. рис.).

Про­ве­дем через точку C1 диа­метр C1D окруж­но­сти с цен­тром в точке O1.По­ка­жем, что CD  — диа­метр сферы. Дей­стви­тель­но, плос­кость CC1D пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям ос­но­ва­ния и, зна­чит, вме­сте с точ­кой O1 со­дер­жит от­ре­зок OO1. Так как C1D  =  2DO1, пря­мая CD пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок OO1 в его се­ре­ди­не, т. е. в цен­тре M за­дан­ной сферы.

Пусть D1  — про­ек­ция точки D на плос­кость ос­но­ва­ния ABC, вы­со­та приз­мы равна h, a ра­ди­у­сы окруж­но­стей с цен­тра­ми O и O1 равен r. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки CC1D и ADD1. Учи­ты­вая, что C_1 D=2r AD_1=r (тре­уголь­ник AOD1 рав­но­сто­рон­ний), CC_1=DD_1=h по т. Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний h в квад­ра­те плюс 4r в квад­ра­те =12 в квад­ра­те , h в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . конец си­сте­мы .

Решая си­сте­му, на­хо­дим, что r=4,  h=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та . Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , его пло­щадь S=12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , и, сле­до­ва­тель­но, объем приз­мы V=S умно­жить на h=48 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 48 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .