РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 87 Добавить в вариант

Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_n$   — произвольные действительные числа. Доказать, что найдётся натуральное k, $1 меньше или равно k меньше или равно n$ такое, что все k средних арифметических $дробь: числитель: a _1 плюс \ldots плюс a _ k , знаменатель: k конец дроби , дробь: числитель: a _2 плюс \ldots плюс a _ k , знаменатель: k минус 1 конец дроби , \ldots, дробь: числитель: a _ k минус 1 плюс a _ k , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: a _ k , знаменатель: 1 конец дроби$ не превосходят $дробь: числитель: a _1 плюс \ldots плюс a _ n , знаменатель: n конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Для каждого $i=1, 2, \ldots, n$ обозначим среднее арифметическое чисел $a_1, a_2, \ldots, a_i$ через S_i. Докажем, что в качестве искомого можно взять любое k такое, что S_k минимально среди всех $S_1, S_2, \ldots, S_n.$ Для любого $i=1, 2, \ldots, k$ запишем:

$k умножить на S _ k = a _1 плюс . . плюс a _ i плюс a _ i плюс 1 плюс . . плюс a _ k = i умножить на S _1 плюс a _ i плюс 1 плюс . . плюс a _ k ,$

откуда $a_i плюс 1 плюс \ldots плюс a_k = k умножить на S_k минус i умножить на S_i меньше или равно k умножить на S_k минус o умножить на S_k$ и $дробь: числитель: a _ i плюс 1 плюс . . плюс a _ k , знаменатель: k минус i конец дроби меньше или равно S _ k меньше или равно S _ n = дробь: числитель: a _1 плюс \ldots плюс a _ n , знаменатель: n конец дроби ,$ что и требовалось доказать.

Замечание. При этом k естественно, может оказаться не единственным.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верный ответ.	7
Утверждение о том, что в качестве искомого можно взять любое k такое, что S_k минимально среди всех $S_1, S_2, \ldots, S_n$ без обоснования.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 3 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь