РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8702 Добавить в вариант

Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, координаты вершин которого удовлетворяют уравнению

$|y плюс 1| левая круглая скобка y в квадрате плюс 2 y плюс 28 правая круглая скобка плюс |x минус 2|=9 левая круглая скобка y в квадрате плюс 2 y плюс 4 правая круглая скобка \text ,$

а стороны параллельны осям координат?

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное уравнение:

$|y плюс 1| левая круглая скобка левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 27 правая круглая скобка плюс |x минус 2|=9 левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 27.$

Замена: $x_1=y плюс 1$ и $y_1=x минус 2.$ Тогда $\left|y_1|= минус левая круглая скобка \left|x_1| минус 3 правая круглая скобка в кубе .$ Площадь прямоугольника при такой замене не меняется. Площадь вычисляется по формуле $S левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4 x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе$ при $x принадлежит левая квадратная скобка 0; 3 правая квадратная скобка .$ Имеем

$S в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4 левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе плюс 3 x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = минус 4 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4 x минус 3 правая круглая скобка .$

В точке $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ функция S(x) принимает наибольшее значение. Итого, наибольшая площадь прямоугольника равна

$S_\max =S левая круглая скобка 0,75 правая круглая скобка =34,171875.$

Ответ: 34, 171875.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Задачи, где в условии координаты

Спрятать решение · Помощь