сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так ОДЗ ло­га­риф­мов не­ра­вен­ства опре­де­ля­ет­ся усло­ви­я­ми

1 минус x в квад­ра­те боль­ше 0 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше x мень­ше 1,

1 минус x в квад­ра­те не равно q 1 рав­но­силь­но x не равно q 0,

1 плюс x в квад­ра­те боль­ше 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит R ,

1 плюс x в квад­ра­те не равно q 1 рав­но­силь­но x не равно q 0,

дробь: чис­ли­тель: 2 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит R ,

дробь: чис­ли­тель: 2 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби не равно q 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно q минус 1, x не равно q дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец си­сте­мы .

В итоге по­лу­ча­ем x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x не равно q 0, и x не равно q дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Обо­зна­чим дробь: чис­ли­тель: 2 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби =u, 1 плюс x в квад­ра­те =v и 1 минус x в квад­ра­те =w . За­пи­сы­ва­ем и пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка w плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка v w пра­вая круг­лая скоб­ка u боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка w плюс 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v w конец дроби минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка w плюс 1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка w, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v w конец дроби боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка w минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v w конец дроби боль­ше или равно 0 . }

Для ре­ше­ния этого не­ра­вен­ства далее при­ме­ня­ем метод ра­ци­о­на­ли­за­ции: знак раз­но­сти ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка b минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка c на об­ла­сти до­пу­сти­мых зна­че­ний сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: b минус c, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби ; в част­но­сти (при c=1 пра­вая круг­лая скоб­ка , знак ло­га­риф­ма ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка b сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: b минус 1, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби . Тогда из по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка u минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка v минус u пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка u минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка w минус u пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка u минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка v w минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка v минус u пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка w минус u пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка u минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка v w минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 .

Под­став­ля­ем сюда вы­ра­же­ния для u, v, w и ре­ша­ем по­лу­ча­ю­ще­е­ся не­ра­вен­ство:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 x в квад­ра­те минус 3 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 x в квад­ра­те плюс 3 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 4 x в квад­ра­те плюс 3 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0 ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

С учётом ОДЗ остаётся x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

На­хож­де­ние ОДЗ от­дель­но не оце­ни­ва­ет­ся. За любое не­эк­ви­ва­лент­ное на ОДЗ пре­об­ра­зо­ва­ние — 0 бал­лов за за­да­чу.

Не­ра­вен­ство пре­об­ра­зо­ва­но к виду дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка w минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка v w конец дроби боль­ше или равно 0  — 2 балла.

Не­ра­вен­ство све­де­но к ра­ци­о­наль­но­му или си­сте­ме ра­ци­о­наль­ных не­ра­венств — 1 балл.

Ответ от­ли­ча­ет­ся от вер­но­го ко­неч­ным ко­ли­че­ством точек — снять по 1 баллу за каж­дую лиш­нюю/не­до­ста­ю­щую точку, но не более 3 бал­лов.

Ответ от­ли­ча­ет­ся от вер­но­го более чем на ко­еч­ное число точек — не более 3 бал­лов за за­да­чу.


Аналоги к заданию № 869: 876 Все

Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024