Рас­смот­рим сна­ча­ла Обо­зна­чим на­ча­ло ко­ор­ди­нат через центр окруж­но­сти через (так как он лежит на пря­мой его ор­ди­на­та равна b); точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с па­ра­бо­лой через и Пусть также   — точка пе­ре­се­че­ния дан­ной пря­мой с осью ор­ди­нат, C  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти с осью ор­ди­нат, от­лич­ная от O.

Тре­уголь­ник QOC рав­но­бед­рен­ный как ра­ди­у­сы), QT  — его вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, QT также и ме­ди­а­на, по­это­му точка C имеет ко­ор­ди­на­ты Опу­стим из точки A пер­пен­ди­ку­ляр на ось ор­ди­нат. Тогда есть угол на­кло­на пря­мой, его тан­генс равен От­сю­да и

Ана­ло­гич­но на­хо­дим, что

Пря­мые AB и OC  — две хорды дан­ной окруж­но­сти. По тео­ре­ме о пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хор­дах*

то есть

Абс­цис­сы и точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и па­ра­бо­лы опре­де­ля­ют­ся урав­не­ни­ем

По тео­ре­ме па­ра­бо­лы опре­де­ля­ют­ся урав­не­ни­ем

По тео­ре­ме Виета Зна­чит,

от­ку­да Зна­че­ние не под­хо­дит, так как при этом за­дан­ная пря­мая при­ни­ма­ет вид то есть про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат.

При (есте­ствен­но, мы рас­смат­ри­ва­ем толь­ко те b, при ко­то­рых пря­мая и па­ра­бо­ла имеют две точки пе­ре­се­че­ния) оба числа и по­ло­жи­тель­ны. Точка T яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка (со­хра­ня­ем все обо­зна­че­ния пер­во­го слу­чая). Тогда с одной сто­ро­ны вы­хо­дит, что точка T  — се­ре­ди­на хорды OC, т. е. лежит внут­ри окруж­но­сти. С дру­гой сто­ро­ны, точки A и B лежат на окруж­но­сти, по­это­му AB яв­ля­ет­ся хор­дой этой окруж­но­сти, а точка T лежит на про­дол­же­нии хорды AB, то есть вне окруж­но­сти. По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие, и этот слу­чай не­воз­мо­жен.

Ответ:

*За­ме­тим, что для от­рез­ков AB и OC, пе­ре­се­ка­ю­щих­ся в точке T, усло­вие яв­ля­ет­ся не­об­хо­ди­мым и до­ста­точ­ным усло­ви­ем того, что че­ты­ре точки A, B, C, O лежат на одной окруж­но­сти.