Пусть PQR  — тре­уголь­ник с ми­ни­маль­ным пе­ри­мет­ром, впи­сан­ный в ABC: От­ра­зим точку P сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но AC. По­лу­чим точку P₁. От­ра­зим точку P сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но BC. По­лу­чим точку P₂. Длина ло­ма­ной P₁RQP₂ равна пе­ри­мет­ру тре­уголь­ни­ка PQR. Длина ло­ма­ной боль­ше, чем длина от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го её концы. В силу ми­ни­маль­но­сти пе­ри­мет­ра длина ло­ма­ной P₁RQP₂ равна длине от­рез­ка P₁P₂. По­это­му точки P1, R, Q, P₂ лежат на одной пря­мой. B тре­уголь­ни­ке P₁CP₂ угол при вер­ши­не равен, бо­ко­вые сто­ро­ны равны CP. В нём чем мень­ше бо­ко­вая сто­ро­на, тем мень­ше ос­но­ва­ние P₁P₂. Длина ми­ни­маль­ной бо­ко­вой сто­ро­ны равна вы­со­те тре­уголь­ни­ка ABC. От­сю­да, CP  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что Q и R  — тоже ос­но­ва­ния высот.

Ответ: вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка с ми­ни­маль­ным пе­ри­мет­ром  — ос­но­ва­ния высот ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка.