Ре­ше­ние.

Пусть наши кубы  — это и с общей гра­нью ABCD. Пусть также тре­уголь­ное се­че­ние пер­во­го куба  — это KLM, где точка K лежит на точка L на AB, а точка M  — на AD. Одна из сто­рон четырёхуголь­но­го се­че­ния вто­ро­го куба  — от­ре­зок LM. Две дру­гие  — про­дол­же­ния от­рез­ков KLи на грани вто­ро­го куба, назовём эти от­рез­ки LPи Чтобы се­че­ние было четырёхуголь­ным, точки P и Q долж­ны на­хо­дить­ся на одной грани вто­ро­го куба, а это может быть толь­ко грань

Зна­чит, четырёхуголь­ное се­че­ние вто­ро­го куба  — это тра­пе­ция LMQP. На­хож­де­ние её наи­боль­шей пло­ща­ди рав­но­силь­но на­хож­де­ние наи­боль­шей пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KPQ, ко­то­рый по­до­бен тре­уголь­ни­ку KLM. Обо­зна­чим этот ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Тогда

То есть наша за­да­ча рав­но­силь­на за­да­че о на­хож­де­нии мак­си­маль­но­го ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия.

С дру­гой сто­ро­ны, по тео­ре­ме Фа­ле­са

То есть ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тем боль­ше, чем мень­ше KA, а зна­чит, наша за­да­ча  — ми­ни­ми­зи­ро­вать KA, или, что то же самое, ми­ни­ми­зи­ро­вать

Пусть у нас есть тре­уголь­ни­ке, вер­ши­ны ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны на трёх рёбрах куба, вы­хо­дя­щих из одной точки, на рас­сто­я­ни­ях и z. Найдём фор­му­лу пло­ща­ди этого тре­уголь­ни­ка. Это можно де­лать по-раз­но­му, на­при­мер, через век­тор­ное про­из­ве­де­ние, или по­счи­тав двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тет­ра­эд­ра, об­ра­зо­ван­но­го вер­ши­на­ми тре­уголь­ни­ка и вер­ши­ной куба, но мы вы­чис­лим эту пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на, зная сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка:

и

Вы­ра­зим:

 

По­смот­рим на эту фор­му­лу для тре­уголь­ни­ка KPQ и от­рез­ков С одной сто­ро­ны, нам надо ми­ни­ми­зи­ро­вать z, а с дру­гой  — мак­си­ми­зи­ро­вать пло­щадь. Оче­вид­но, для этого x и y долж­ны быть мак­си­маль­ны, то есть равны ребру

Как мы знаем, то есть от­ку­да Под­став­ляя эти зна­че­ния в фор­му­лу, по­лу­ча­ем:

Со­от­вет­ствен­но,

от­ку­да

Пра­вая часть этого ра­вен­ства убы­ва­ет при а зна­чит, дан­ное урав­не­ние на k имеет не боль­ше од­но­го ре­ше­ния. Кон­крет­ное ре­ше­ние в боль­шин­стве ва­ри­ан­тов легко под­би­ра­ет­ся из этого ра­вен­ства, так как оно це­ло­чис­лен­ное.

На­при­мер, в пер­вом ва­ри­ан­те мы по­лу­ча­ем урав­не­ние

от­ку­да сразу воз­ни­ка­ет же­ла­ние про­ве­рить что ока­зы­ва­ет­ся вер­ным. Ответ по­лу­ча­ет­ся как раз­ность пло­ща­дей двух тре­уголь­ни­ков и равен

 

S	16
k	3
Ответ:	128.

 

Ответ: 128.