сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Вася по­ме­нял ме­ста­ми цифры трех­знач­но­го числа A так, что ни одна цифра но­во­го трёхзнач­но­го числа B не сов­па­ла с циф­рой числа A, сто­я­щей в том же раз­ря­де. Ока­за­лось, что раз­ность A − B  — дву­знач­ное число, яв­ля­ю­ще­е­ся пол­ным квад­ра­том. Чему может быть равно число A? Най­ди­те все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим A=\overlinea b c, где a, b, c  — цифры его сотен, де­сят­ков и еди­ниц со­от­вет­ствен­но. Из прин­ци­па Ди­ри­х­ле и усло­вия сле­ду­ет, что все они раз­лич­ны, так как нель­зя рас­са­дить ми­ни­мум 4 кро­ли­ков (две пары оди­на­ко­вых цифр в А и В) по 3 клет­кам (раз­ря­дам), чтобы каж­до­му до­ста­лось от­дель­ное жильё. По усло­вию либо B=\overlineb c a, либо B=\overlinec a b. Кроме того, раз­ность А и В дву­знач­на, сле­до­ва­тель­но, пер­вая цифра А боль­ше пер­вой цифры В на 1 (как мы за­ме­ти­ли, пер­вые цифры этих чисел не могут быть равны). Рас­смот­рим оба слу­чая.

1.  Если B=\overlineb c a. Тогда A минус B=\overlinea b c минус \overlineb c a=99 a минус 90 b минус 9 c  — дву­знач­ное число, де­ля­ще­е­ся на 9 и яв­ля­ю­ще­е­ся точ­ным квад­ра­том, то есть 36 или 81. В пер­вом слу­чае 11 a минус 10 b минус c=4 и a=b плюс 1, то b плюс 7=c, от­ку­да b  =  1, 2 и A  =  218, 329  — два ре­ше­ния. Во вто­ром слу­чае 11 a минус 10 b минус c=9 и a  =  b + 1, зна­чит, b + 2  =  c, от­ку­да b  =  1, 2, ..., 7 и A  =  213, ..., 879  — семь ре­ше­ний.

2.  Если B=\overlinec a b. Тогда A минус B=\overlinea b c минус \overlinec a b=90 a плюс 9 b минус 99 c  — дву­знач­ное число, де­ля­ще­е­ся на 9 и яв­ля­ю­ще­е­ся точ­ным квад­ра­том, то есть 36 или 81. В пер­вом слу­чае 10 a плюс b минус 11 c=4 и a  =  c + 1, тогда c  =  b + 6 и a  =  b + 7, от­ку­да b  =  0, 1, 2 и A  =  706, 817, 928  — три ре­ше­ния. Во вто­ром слу­чае 10 a плюс b минус 11 c=9 и a  =  c + 1, зна­чит, c  =  b + 1, a  =  b + 2, от­ку­да b  =  0, 1, 2, ..., 7 и A  =  201, 312, ..., 978  — во­семь ре­ше­ний. Общее число ре­ше­ний равно 2 + 7 + 3 + 8  =  20.

 

Ответ: всего 20 ре­ше­ний: A  =  218, 329, A  =  213, ..., 879, A  =  706, 817, 928, A  =  201, 312, ..., 978.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Рас­смот­рен пол­но­стью толь­ко один из слу­ча­ев для раз­но­сти 36 или 81: 3 балла.

Не рас­смот­ре­на часть ре­ше­ний в одном из этих слу­ча­ев: сни­ма­ем 1 балл в каж­дом слу­чае.