сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Найти все четвёрки дей­стви­тель­ных чисел (a, b, c, d) таких, что

a левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка =b левая круг­лая скоб­ка c плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка =c левая круг­лая скоб­ка d плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­чи­тая пер­вое вы­ра­же­ние из тре­тье­го, по­лу­чим ab  =  cd, вы­чи­тая четвёртое вы­ра­же­ние из вто­ро­го, по­лу­чим ad  =  bc.

1.  Если одно из пе­ре­мен­ных, ска­жем a, равно 0, то одно из c, d равно 0 и одно из b, c равно 0. В слу­чае c не равно q 0 будет b=d=0 и тогда все че­ты­ре вы­ра­же­ния в усло­вии равны 0 и между собой. Если же c  =  0,bd  =  0 и одно из b, d равно 0, то есть снова три из пе­ре­мен­ных равны 0. Ана­ло­гич­но, все четвёрки, в ко­то­рых три пе­ре­мен­ных равны 0, a четвёртое про­из­воль­но, яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми за­да­чи.

2.  Далее все a, b, c, d не равны 0. Тогда, пе­ре­мно­жив ра­вен­ства ab  =  cd и ad  =  bc и со­кра­тив на db, по­лу­чим a в квад­ра­те =c в квад­ра­те , то есть a= \pm c. Обо­зна­чим c=\varepsilon a, \varepsilon= \pm 1, тогда и d=\varepsilon b. Под­ста­вим по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния в ра­вен­ства из усло­вия, по­лу­чим

a левая круг­лая скоб­ка b плюс \varepsilon a пра­вая круг­лая скоб­ка =b левая круг­лая скоб­ка \varepsilon a плюс \varepsilon b пра­вая круг­лая скоб­ка =\varepsilon a левая круг­лая скоб­ка \varepsilon b плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =\varepsilon b левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка ,

из ко­то­рых вто­рое и тре­тье сле­ду­ют из пер­во­го a левая круг­лая скоб­ка b плюс \varepsilon a пра­вая круг­лая скоб­ка =b левая круг­лая скоб­ка \varepsilon a плюс \varepsilon b пра­вая круг­лая скоб­ка .

3.  Если ϵ  =  1, то a в квад­ра­те =b в квад­ра­те и b= дель­та a,  дель­та = \pm 1. В этом слу­чае по­лу­ча­ем четвёрку чисел (a, δa, a, δa)  — ре­ше­ние, когда либо все числа a, b, c, d равны (при δ  =  1), либо четвёрку (a, –a, a, –a), когда каж­дая из сумм b + c, c + d, d + a, a + b равна 0 (при δ  =  −1).

4.  Если \varepsilon= минус 1, то

a левая круг­лая скоб­ка b минус a пра­вая круг­лая скоб­ка =b левая круг­лая скоб­ка минус a минус b пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =2 a в квад­ра­те рав­но­силь­но b= левая круг­лая скоб­ка минус 1 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка a.

В этом слу­чае по­лу­ча­ем две четвёрки ре­ше­ний:  левая круг­лая скоб­ка a, левая круг­лая скоб­ка минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка a, минус a, левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка a, левая круг­лая скоб­ка минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка a, минус a, левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка . В итоге, си­сте­ма урав­не­ний из усло­вия имеет 8 бес­ко­неч­ных серий ре­ше­ний, по­лу­ча­ю­щих­ся умно­же­ни­ем каж­до­го из чисел

 левая круг­лая скоб­ка 1, 0, 0, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0, 1, 0, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0, 0, 1, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0, 0, 0, 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1, 1, 1, 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1, минус 1, 1, минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1, минус 1 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , минус 1, 1 \mp ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка

на любое дей­стви­тель­ное число.

 

Ответ: 8 бес­ко­неч­ных серий ре­ше­ний, по­лу­ча­ю­щих­ся умно­же­ни­ем каж­до­го из чисел  левая круг­лая скоб­ка 1, 0, 0, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0, 1, 0, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0, 0, 1, 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0, 0, 0, 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1, 1, 1, 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1, минус 1, 1, минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1, минус 1 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , минус 1, 1 \mp ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка на любое дей­стви­тель­ное число.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Уга­да­ны с про­вер­кой пер­вые 5 серий: 1 балл.

Уга­да­ны с про­вер­кой пер­вые 6 серий: 2 балла.

Рас­суж­де­ния пунк­тов 1, 2 и 3: по 1 баллу.

Рас­суж­де­ния пунк­та 4: 3 балла.