сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Вы­чис­лить зна­че­ние про­из­ве­де­ния дробь: чис­ли­тель: 2 в кубе минус 1, зна­ме­на­тель: 2 в кубе плюс 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе минус 1, зна­ме­на­тель: 3 в кубе плюс 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4 в кубе минус 1, зна­ме­на­тель: 4 в кубе плюс 1 конец дроби умно­жить на \ldots умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 100 в кубе минус 1, зна­ме­на­тель: 100 в кубе плюс 1 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Раз­ло­жим раз­но­сти кубов в чис­ли­те­ле и суммы кубов в зна­ме­на­те­ле на мно­жи­те­ли:

A= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в квад­ра­те плюс 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 в квад­ра­те минус 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 в квад­ра­те плюс 3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 в квад­ра­те минус 3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на \ldots умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 99 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 99 в квад­ра­те плюс 99 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 99 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 99 в квад­ра­те минус 99 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 100 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 100 в квад­ра­те плюс 100 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 100 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 100 в квад­ра­те минус 100 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Тогда по­лу­чим, что

A= дробь: чис­ли­тель: 1 умно­жить на 2 умно­жить на \ldots умно­жить на 99, зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 4 умно­жить на \ldots умно­жить на 101 конец дроби дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в квад­ра­те плюс 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в квад­ра­те минус 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3 в квад­ра­те плюс 3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 3 в квад­ра­те минус 3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на \ldots умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 99 в квад­ра­те плюс 99 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 99 в квад­ра­те минус 99 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 100 в квад­ра­те плюс 100 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 100 в квад­ра­те минус 100 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

По­сколь­ку при любых на­ту­раль­ных n левая круг­лая скоб­ка n боль­ше 1 пра­вая круг­лая скоб­ка вы­пол­не­но ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1=n в квад­ра­те минус n плюс 1, со­мно­жи­те­ли чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля со­кра­ща­ют­ся. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

A= дробь: чис­ли­тель: 1 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 100 умно­жить на 101 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 100 в квад­ра­те плюс 100 плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 в квад­ра­те минус 2 плюс 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 100 в квад­ра­те плюс 100 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 100 умно­жить на 101 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10101, зна­ме­на­тель: 50 умно­жить на 303 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3367, зна­ме­на­тель: 5050 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка 100 в квад­ра­те плюс 100 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 100 умно­жить на 101 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3367, зна­ме­на­тель: 5050 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

1.  Раз­ло­жил чис­ли­те­ли и зна­ме­на­те­ли на мно­жи­те­ли  — 0,5 балла.

2.  Вы­де­лил мно­жи­те­ли фак­то­ри­аль­но­го типа и ча­стич­но со­кра­тил дробь  — 1 балл.

3.  Экс­пе­ри­мен­таль­но за­ме­тил со­кра­ще­ние не­фак­то­ри­аль­ных мно­жи­те­лей, но не обос­но­вал стро­го  — 1,5 балла.

4.  Пол­но­стью все обос­но­вал и по­лу­чил вер­ный ответ  — 2 балла.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024