РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9211 Добавить в вариант

Доска $2 N \times 2 N$ покрыта неперекрывающимися доминошками $1 \times 2.$ По доске прошла хромая ладья, побывав на каждой клетке по одному разу (каждый ход хромой ладьи  — на клетку, соседнюю по стороне). Назовём ход продольным, если это переход из одной клетки доминошки на другую клетку той же доминошки. Каково

а)  [1] наибольшее;

б)  [4] наименьшее возможное число продольных ходов?

(Б. Френкин)

Спрятать решение

Решение.

а)  Оценка. Количество продольных ходов не превосходит количества 2N² доминошек (так как в каждой доминошке не более одного продольного хода).

Пример. Возьмём любой обход ладьей и занумеруем клетки в порядке обхода. Пусть клетки 2k − 1 и 2k образуют доминошку для всех k от 1 до 2N². Тогда число продольных ходов равно числу доминошек.

б)  Случай N  =  1 очевиден.

Пусть $N больше или равно 2.$ Оценка. При проходе угла один из двух ходов будет продольным. Один угол может быть началом пути ладьи, другой концом, а оставшиеся углы придётся проходить. Поэтому будет хотя бы два продольных хода.

Пример. Положим в верхние углы доски по вертикальной доминошке, а все остальные положим горизонтально. Пусть ладья идёт змейкой из левого нижнего угла (см. рис.). Продольными будут лишь два хода  — в вертикальных доминошках.

Ответ: а)  2N² ходов; б)  1 ход при N  =  1; 2 хода при $N больше или равно 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

№	Критерий	Оценка
5а	Только верный ответ	−.
	Доказано только, что продольных ходов не более 2N²	∓
	Доказано только, что продольных ходов может быть 2N². Сюда также относится только соответствующий приведённый пример в виде картинки	±
5б	Только верный ответ	−.
	Доказано только, что при N > 1 продольных ходов хотя бы 2. Этот критерий применяется и в том случае, когда при оценке неявно предполагается, что N > 1 (например, считается, что любые 2 угла доски не соседние)	∓
	Оценка не снижается за упущение случая N  =  1. В ситуации, когда есть только оценка и конкретные примеры для маленьких N, которые трудно (или вообще не получается) обобщить на все N > 2, считается, что задача не решена; если обобщение нетрудно  — снижается «настолько, насколько оно трудно»
	Верный ответ к пункту а)	1 б.
	Верный ответ к пункту б)	4 б.

Как ставились оценки:

—  «+» ставится за любое правильное решение;

—  «±» ставится за решение с существенным, но легко восполнимым пробелом;

—  «∓» ставится за неверное решение, однако с существенным продвижением;

—  «–» ставится за неверное решение;

—  «0» ставится, если задача не записана;

—  «+.», «–.» (варианты «+», «–») ставятся в случае менее существенных недостатков (продвижений), чем в случае «+ –» и «–+»;

—  «+/2» ставится в отдельных случаях, когда в тексте присутствует правильная идея, недостаточно развитая, чтобы считать задачу решенной. Эта оценка ставится и в том случае, если задача естественно распадается на две половины, из которых одна решена.

Если жюри хочет обратить внимание на необычное достижение учащегося (краткость, красота, усиление результата и т. п.),  — это отмечается знаком «+!».

При массовой проверке работ возникают типичные случаи, в которых требуются уточнения, считать ли недостаток (продвижение) существенным. Эти случаи описаны для каждого конкретного задания.

Турнир городов, 11, 10 класс, Осенний тур, 2023 год

Классификатор: Разное. Игры и стратегии, Разное. Примеры и конструкции

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь