Введём ко­ор­ди­на­ты: пусть вер­ши­ны A, B, C имеют ко­ор­ди­на­ты со­от­вет­ствен­но (0, 0), и

До­ка­жем, что M долж­на ле­жать на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к BC (то есть на оси OX ). Пусть ис­ко­мая точка M имеет ко­ор­ди­на­ты (x, y), и пусть Рас­смот­рим с ко­ор­ди­на­та­ми (x, 0). Ясно, что (катет ко­ро­че ги­по­те­ну­зы). Те­перь до­ста­точ­но до­ка­зать, что Это можно сде­лать по-раз­но­му. На­при­мер, за­ме­тить, что если точка M лежит на не­ко­то­ром эл­лип­се с фо­ку­са­ми B и C, то, ис­хо­дя из вы­пук­ло­сти эл­лип­са, будет ле­жать внут­ри этого эл­лип­са.

Оста­лось рас­смот­реть слу­чай, когда M лежит на OX, то есть M имеет ко­ор­ди­на­ты (x, 0) т. к. точка внут­ри тре­уголь­ни­ка). Рас­смот­рим функ­цию

и найдём её ми­ни­мум. За­ме­тим, что f(0)  =  8, по­это­му точка A не яв­ля­ет­ся ис­ко­мой точ­кой. Зна­чит, мы можем про­диф­фе­рен­ци­ро­вать f(x) и при­рав­нять про­из­вод­ную к 0.

Умно­жив на (по­ло­жи­тель­ный) зна­ме­на­тель и при­рав­няв вы­ра­же­ние к нулю, по­лу­чим

Воз­во­дя обе части в квад­рат, имеем

или от­ку­да Так как точка на­хо­дит­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка, нам под­хо­дит Эта точка ха­рак­те­ри­зу­ет­ся свой­ством

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Сле­ду­ю­щая лемма яв­ля­ет­ся след­стви­ем фор­му­лы Тей­ло­ра. Лемма. Пусть υ, x  — не­ну­ле­вые век­то­ра, и пусть Тогда при стре­мя­щем­ся к нулю

где e_υ  — еди­нич­ный век­тор в на­прав­ле­нии век­то­ра υ.

До­ка­за­тель­ство леммы.

За­да­дим ко­ор­ди­на­ты так, чтобы (a > 0). Тогда

Раз­ло­жим f(ε) по фор­му­ле Тей­ло­ра. Для этого найдём про­из­вод­ную f(ε):

Тогда Оста­лось за­ме­тить, что

Пусть длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка 1 и Тогда за­ме­тим, что ми­ни­мум на всей плос­ко­сти до­сти­га­ет­ся внут­ри круга ра­ди­у­са 5 с цен­тром в цен­тре тре­уголь­ни­ка, по­то­му что ис­ко­мая ве­ли­чи­на вне круга ока­зы­ва­ет­ся не мень­ше 10, а зна­чит ми­ни­мум не там, по­то­му что если рас­смот­реть M  =  A, S(M)  =  4.

Те­перь по­сколь­ку круг  — ком­пакт, на нем до­сти­га­ет­ся ми­ни­мум, а зна­чит он до­сти­га­ет­ся либо в вер­ши­не, либо в не­ко­то­рой точке, из ко­то­рой любой малый сдвиг не умень­ша­ет сумму.

За­ме­тим, что при сдви­ге на век­тор εx, где x  — век­тор длины 1, а ε стре­мит­ся к нулю, из­ме­не­ние длины равно

Это вы­ра­же­ние долж­но быть не­от­ри­ца­тель­но при любом на­прав­ле­нии век­то­ра x, сле­до­ва­тель­но, век­тор рав­ня­ет­ся нулю.

Тогда углы между на­прав­ле­ни­я­ми на вер­ши­ны из M такие же как углы в тре­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 2, 2, 1. В силу ра­вен­ства углов AMB и AMC, точка M лежит на оси сим­мет­рии тре­уголь­ни­ка, про­хо­дя­щей через A. Оче­вид­но, что Дан­ные па­ра­мет­ры един­ствен­ным об­ра­зом за­да­ют точку M. Ра­зу­ме­ет­ся, эту точку можно за­дать и дру­ги­ми спо­со­ба­ми.