We prove that if we peel off the strip, then it will be a parallelogram. First, imagine that the fly was crawling not on the surface of the mug, but on the paper lining in which the mug was previously wrapped: a rectangular lining, size where l is the circumference of the bottom of the mug, that is, As you know, such a sheet can be rolled into a cylinder with a height of 7 and a radius of that is, just right to put a mug from the condition inside. Let's place this sheet so that the vertical seam (along which the opposite edges of this sheet of length 7 are combined) begins and ends, respectively, at the points of the beginning and end of the fly's path, they are just on the same vertical relative to the bottom of the circle.

Secondly, we will repeat the route of the fly on this wrapper (with a pencil) this will be a line that starts in one corner of the rectangular wrapper and ends in the opposite corner, so this line crosses the seam (that is, both sides of the sheet of length 7) once, since it makes two complete turns on the surface of the cylinder covered with this sheet. Let's prove that on an expanded sheet of paper (see illustration) this line turns into two segments. Indeed, by convention, the fly moved at a constant vertical speed. The vertical velocity (relative to the circle), when repeating the movement on the unfolded sheet of paper, turns into the velocity of the point moving along the surface of the sheet along the side of the length 7. That is, a virtual model of a fly repeating the trajectory of a fly on a wrapper at the speed of a real fly has a constant velocity along the direction of the side of the length 7.

It is easy to see that the angular velocity of a fly turns into the velocity of a virtual fly along the side of the 8 length of a sheet of paper by simply multiplying by a factor of 2π. This means that the speed of the virtual fly in this direction is also constant. Then, counting the sides of the sheet of paper with the axes O_x and O_y, we have that the x and y components of the velocity of the virtual fly are constant. Then the general velocity vector of the virtual fly, which is equal to the sum of its x and y  — projections, is constant. That is, except for the moment of crossing the seam of the wrapper, the trajectory of the fly is rectilinear.

Thus, we get that the sticky tape is glued along a straight line, if you look at the wrapper, and cut along the sides of the length 8 of this wrapper, that is, along straight parallel lines on the scan. That is, the sticky tape has the shape of a parallelogram (when peeling off and aligning on a plane), and the middle line of this parallelogram coincides with the trajectory of the fly. The trajectory of the fly is two segments on the wrapper (segments EC − FB), which can be represented as one whole diagonal of a sheet of size which is obtained by applying two copies of the wrapper along the seam. Thus, the length of the trajectory is equal to and the area of the adhesive tape is the length of the middle line of the parallelogram by the thickness of the parallelogram (that is, 2 cm). In tot al, the answer is  cm².

Note.

Many participants considered the case of a rectangular ribbon, which is why they deducted the "extra"part in their decisions, we also gave a full score for such solutions.

До­ка­жем, что если от­кле­ить по­ло­су, то он а будет яв­лять­ся па­рал­ле­ло­грам­мом. Во-пер­вых, пред­ста­вим, муха полз­ла не по по­верх­но­сти круж­ки, а по бу­маж­ной под­клад­ке, в ко­то­рую пред­ва­ри­тель­но обер­ну­ли круж­ку: под­клад­ка пря­мо­уголь­ной формы, раз­мер где l  — длина окруж­но­сти дна круж­ки, то есть Как из­вест­но, такой лист можно свер­нуть в ци­линдр вы­со­ты 7 и ра­ди­у­са то есть как раз под­хо­дя­щим, чтобы по­ме­стить внутрь круж­ку из усло­вия. По­ме­стим этот лист так, чтобы вер­ти­каль­ный шов (вдоль ко­то­ро­го сов­ме­ща­ют­ся про­ти­во­по­лож­ные края этого листа длины 7) на­чи­нал­ся и за­кан­чи­вал­ся со­от­вет­ствен­но, в точ­ках на­ча­ла и окон­ча­ния пути мухи они как раз на­хо­дят­ся на одной вер­ти­ка­ли от­но­си­тель­но дна круж­ки.

Во-вто­рых, по­вто­рим марш­рут мухи на этой обёртке (ка­ран­да­шом) это будет линия, ко­то­рая на­чи­на­ет­ся в одном углу пря­мо­уголь­ной обёртки и за­кан­чи­ва­ет­ся в про­ти­во­по­лож­ном углу, причём эта линия пе­ре­се­ка­ет шов (то есть обе сто­ро­ны листа длины 7) один раз, так как на по­верх­но­сти ци­лин­дра, по­кры­то­го этим ли­стом, со­вер­ша­ет два пол­ных обо­ро­та. До­ка­жем, что на развёрну­том листе бу­ма­ги (смот­реть ил­лю­стра­цию) эта линия пре­вра­ща­ет­ся в два от­рез­ка. Дей­стви­тель­но, по усло­вию, муха пе­ре­ме­ща­лась с по­сто­ян­ной вер­ти­каль­ной ско­ро­стью. Вер­ти­каль­ная ско­рость (от­но­си­тель­но круж­ки ), при по­вто­ре­нии дви­же­ния на развёрну­том листе обёртки, пре­вра­ща­ет­ся в ско­рость пе­ре­ме­ще­ния точки по по­верх­но­сти листа вдоль сто­ро­ны длины 7. То есть вир­ту­аль­ная мо­дель мухи, по­вто­ря­ю­щая тра­ек­то­рию мухи на обёртке со ско­ро­стью ре­аль­ной мухи, имеет по­сто­ян­ную ско­рость вдоль на­прав­ле­ния сто­ро­ны длины 7.

Легко ви­деть, что уг­ло­вая ско­рость мухи пре­вра­ща­ет­ся в ско­рость вир­ту­аль­ной мухи вдоль сто­ро­ны длины 8 листа бу­ма­ги про­сто до­мно­же­ни­ем на ко­эф­фи­ци­ент 2π. Зна­чит, ско­рость вир­ту­аль­ной мухи в этом на­прав­ле­нии также по­сто­ян­на. Тогда, счи­тая сто­ро­ны листа обёртки осями O_x и O_y: имеем, что x и y ком­по­нен­ты ско­ро­сти вир­ту­аль­ной мухи по­сто­ян­ны. Тогда и общий век­тор ско­ро­сти вир­ту­аль­ной мухи, ко­то­рый равен сумме своих x и y  — про­ек­ций, яв­ля­ет­ся по­сто­ян­ным. То есть, кроме мо­мен­та пе­ре­се­че­ния шва обёртки, тра­ек­то­рия дви­же­ния мухи пря­мо­ли­ней­на.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что лип­кая лента при­кле­е­на вдоль пря­мой линии, если смот­реть по обёртке, и об­ре­за­на вдоль сто­рон длины 8 этой обёртки, то есть вдоль пря­мых па­рал­лель­ных линий на развёртке. То есть лип­кая лента имеет форму па­рал­ле­ло­грам­ма (при от­кле­и­ва­нии и вы­рав­ни­ва­нии на плос­ко­сти), а сред­няя линия этого па­рал­ле­ло­грам­ма сов­па­да­ет с тра­ек­то­ри­ей мухи. Тра­ек­то­рия мухи это два от­рез­ка на обёртке (от­рез­ки EC − FB), ко­то­рые можно пред­ста­вить в виде одной целой диа­го­на­ли листа раз­ме­ра ко­то­рый по­лу­ча­ет­ся при­кла­ды­ва­ем двух эк­зем­пля­ров обёртки вдоль шва. Таким об­ра­зом, длина тра­ек­то­рии равна а пло­щадь лип­кой ленты длина сред­ней линии па­рал­ле­ло­грам­ма на тол­щи­ну па­рал­ле­ло­грам­ма (то есть 2 см). Итого, ответ

Ответ:

За­ме­ча­ние.

Мно­гие участ­ни­ки рас­смат­ри­ва­ли слу­чай пря­мо­уголь­ной ленты, от­че­го в своих ре­ше­ни­ях они вы чи­та­ли "лиш­нюю" часть, за такие ре­ше­ния мы так же ста­ви­ли пол­ный балл.