сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

К гра­фи­кам функ­ций y = ко­си­нус x и y = a тан­генс x про­ве­ли ка­са­тель­ные в не­ко­то­рой точке их пе­ре­се­че­ния. До­ка­жи­те, что эти ка­са­тель­ные пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу для лю­бо­го a не равно q 0.

 

(В. А. Клеп­цын, Г. А. Мер­зон)

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Абс­цис­са x0 любой точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков дан­ных функ­ций удо­вле­тво­ря­ет ра­вен­ству  ко­си­нус x_0 = a тан­генс x_0. В этой точке ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции y = ко­си­нус x имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент k_1 = минус синус x_0, а ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции y = a тан­генс x имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент k_2 = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x_0 конец дроби . По­сколь­ку k_1 k_2 = минус дробь: чис­ли­тель: a тан­генс x_0, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x_0 конец дроби = минус 1, эти ка­са­тель­ные пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За­да­ча ре­ше­на верно и обос­но­ван­но: [+].

В ре­ше­нии есть легко ис­пра­ви­мые ло­ги­че­ские ошиб­ки (на­при­мер, фор­му­ли­ру­ют­ся утвер­жде­ния, об­рат­ные до­ка­зы­ва­е­мым и т. п.),

или

при в целом вер­ном ре­ше­нии по­лу­че­но и ис­поль­зо­ва­но, что  синус x_0 = дробь: чис­ли­тель: минус a \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 4 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , но не ис­сле­до­ва­но, при каких а это зна­че­ние лежит в [-1; 1]: [±].

В ва­ри­ан­те ре­ше­ния с по­ис­ком яв­но­го вида точек пе­ре­се­че­ния до­пу­ще­ны ошиб­ки при ре­ше­нии три­го­но­мет­ри­че­ских урав­не­ний

или

в пре­об­ра­зо­ва­ни­ях, или утвер­жде­ние до­ка­за­но толь­ко для одной точки (серии точек), а не для всех: [∓].

Зна­чи­тель­ных про­дви­же­ний не по­лу­че­но: [–].