а) Найдите площадь подграфика функции
б) Покажите, что 
в) Докажите, что для любых четырех чисел 
где 
верно неравенство
В каком случае имеет место равенство?
Решение. а) График функции f изображен на рисунке, и искомая площадь равна
б) Поскольку уравнение 
задает верхнюю полуокружность с радиусом 1 (см. рис.), то данный интеграл равен четверти площади круга, т. е. 
в) 
Прежде всего заметим, что функции 
и 
являются взаимно обратными, поэтому первый интеграл равен площади криволинейного треугольника OAC (см. рис.), второй — площади OBE, а объединение этих двух фигур содержит прямоугольник OADB, площадь которого равна ab. Равенство имеет место, если точки E и C совпадают, т. е. при 
Собственно говоря, методическая идея построения данной задачи состояла в том, чтобы подвести учащихся к решению пункта в).
Спрятать критерииКритерии проверки:| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
