сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  По­ка­жи­те, что  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс y конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из x плюс ко­рень из y мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та при x, y\geqslant0.

б)  Еди­нич­ный квад­рат раз­де­лен двумя пря­мы­ми на че­ты­ре пря­мо­уголь­ни­ка. До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние пло­ща­дей двух не­смеж­ных пря­мо­уголь­ни­ков не пре­вос­хо­дит  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 16.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние про­из­ве­де­ния xy, если из­вест­но, что x в квад­ра­те плюс xy плюс y в квад­ра­те мень­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Воз­во­дя не­ра­вен­ство в квад­рат, по­лу­ча­ем x плюс y мень­ше или равно x плюс y плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 2x плюс 2y. Пер­вое не­ра­вен­ство оче­вид­но. Вто­рое сво­дит­ся к

x плюс y боль­ше или равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy конец ар­гу­мен­та плюс y боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно 0,

что верно.

б)  Про­из­ве­де­ние пло­ща­дей нeсмеж­ных пря­мо­уголь­ни­ков (обо­зна­че­ния  — на ри­сун­ке) равно

ax умно­жить на by=ab умно­жить на xy мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a плюс b, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 16.

в)  Имеем: 1 боль­ше или равно x в квад­ра­те плюс xy плюс y в квад­ра­те боль­ше или равно 3xy, зна­чит, xy мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся при x=y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.