Задания
Версия для печати и копирования в MS WordДан равнобедренный треугольник с углом при вершине.
а) Докажите, что
где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
б) При каком отношение принимает наибольшее значение?
в) Докажите, что в общем случае отношение принимает наибольшее значение для равносторонних треугольников.
Решение. применяя аналогичные неравенства, получим, что причем равенство имеет место лишь в случае, когда т. е. при
Спрятать критерииа) Пусть a — длина основания данного треугольника (см. рис.). По теореме синусов далее,
поэтому
б) Исследуя найденную в предыдущем пункте функцию f, получим, что она принимает наибольшее значение при
в) Имеем: здесь — периметр треугольника, так что
Далее,