сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)   Упро­сти­те про­из­ве­де­ние p_n= ко­си­нус \dfrac альфа 2 ко­си­нус \dfrac альфа 4 \ldots ко­си­нус \dfrac альфа 2 в сте­пе­ни n .

б)  Вы­чис­ли­те пре­дел \dsize\lim_n\to бес­ко­неч­ность p_n.

в)  До­ка­жи­те фор­му­лу Виета

 дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac12 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac12 плюс \tfrac12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac12 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac12 плюс \tfrac12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac12 плюс \tfrac12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \tfrac12 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та \ldots.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Дей­стви­тель­но,

 \eqalign p_n синус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни n конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа 2} ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \ldots ко­си­нус { дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1, зна­ме­на­тель: к конец дроби онец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус { дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1, зна­ме­на­тель: к конец дроби онец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 2 в квад­ра­те ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа 2} ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа 4}\ldots ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 2, зна­ме­на­тель: к конец дроби онец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 2, зна­ме­на­тель: к конец дроби онец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =\ldots= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: { конец дроби 2 в сте­пе­ни n синус альфа .

Ответ: p_n=\dfrac синус альфа 2 в сте­пе­ни n синус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни n конец дроби .

 

б)  Имеем: \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность p_n=\dfrac синус альфа альфа \lim\limits_n\to бес­ко­неч­ность \dfrac дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни n конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни n конец дроби = \dfrac синус альфа альфа , так как \dfrac альфа 2 в сте­пе­ни n \undersetn\to плюс бес­ко­неч­ность \to0, а \lim\limits_x\to0 \dfrac синус xx=1.

 

Ответ: \dfrac синус альфа альфа .

 

в)  В силу преды­ду­щих пунк­тов имеем фор­му­лу

 дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби = \lim_n\to бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: a конец дроби lpha2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: a конец дроби lpha4\ldots ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: a конец дроби lpha2 в сте­пе­ни n ,

под­ста­вив в ко­то­рую  альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­лу­чим фор­му­лу Виета, по­сколь­ку не­труд­но ви­деть, что

 ко­си­нус \dfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс \ldots плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та

(n квад­рат­ных кор­ней).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.