РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9678 Добавить в вариант

Найдите наименьшее целое значение параметра a, при котором уравнение

$x в квадрате плюс 2 x плюс a в квадрате плюс 2 a минус 5 = 2 левая круглая скобка f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка минус a x правая круглая скобка$

имеет единственное решение. Функция f(t) задается соотношением

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка 27 умножить на t в квадрате плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка плюс 32 t конец аргумента , знаменатель: t минус корень из: начало аргумента: t в квадрате конец аргумента конец дроби$

при всех возможных значениях t.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим функцию f(x).

1.  Заметим, что $x не равно q 0.$

2.  Если $x больше 0 \Rightarrow x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате конец аргумента = x минус |x| = x минус x = 0.$

3.  Если

$x меньше 0 \Rightarrow f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: 27 x в кубе плюс 27 умножить на 2 x в квадрате плюс 36 x плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 x плюс 2 правая круглая скобка в кубе конец аргумента , знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: 3 x плюс 2, знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .$ $x меньше 0 \Rightarrow$
$\Rightarrow f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: 27 x в кубе плюс 27 умножить на 2 x в квадрате плюс 36 x плюс 8 конец аргумента , знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: левая круглая скобка 3 x плюс 2 правая круглая скобка в кубе конец аргумента , знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: 3 x плюс 2, знаменатель: 2 x конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .$

Тогда уравнение перепишется в виде

$x в квадрате плюс 2 x плюс a в квадрате плюс 2 a минус 5 = 3 плюс 2 x левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка \Rightarrow x в квадрате плюс 2 a x плюс a в квадрате плюс 2 a минус 8 = 0.$

Вычислим дискриминант, тогда:

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = 8 минус 2a,$ $x_1 умножить на x_2 = левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка ,$ $x_1 плюс x_2 = минус 2 a .$

Единственное решение уравнение имеет, если:

$1 правая круглая скобка дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = 8 минус 2 a = 0 \Rightarrow a=4, x = минус 4;$

$2 правая круглая скобка система выражений дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = 8 минус 2 a больше 0,x_1 умножить на x_2 = левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка меньше 0 конец системы . \Rightarrow a принадлежит левая круглая скобка минус 4; 2 правая квадратная скобка ;$

$3 правая круглая скобка система выражений дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = 8 минус 2 a больше 0,x_1 умножить на x_2 = левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка = 0, x_1 плюс x_2= минус 2 a меньше 0 конец системы . \Rightarrow a=2.$

Таким образом, единственное решение возможно при $a принадлежит левая круглая скобка минус 4; 2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка .$ Следовательно, наименьшее целое значение параметра при этом равно −3.

Ответ: −3.

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2023 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Свойства функций

Спрятать решение · Помощь