а) Докажите, что уравнение 
имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что неравенство 
верно при всех 
г) Существует ли прямая, пересекающая кривую 
в трех различных точках?
а) Пусть 
Заметим, что
то есть 
и 
имеют разные знаки. Значит, на отрезке 
есть один корень уравнения 
а всего корней два (если бы он был один, то график 
касался бы оси абсцисс и функция не принимала бы значений разных знаков). Обратное утверждение неверно, если, например, оба корня не лежат на этом отрезке, как у трехчлена 
тогда корнями будут 
и 
а
б) Так как 
то равенство возможно лишь в тех случаях, когда 
откуда 
Для решений первой системы имеем 
откуда 
Поскольку k и l — целые числа, а 
получаем следующие варианты: 
или 
или 
или, наконец, 
и 
Ответ: 
в) Неравенство
задает множество пар 
лежащих в квадрате со сторонами, параллельными биссектрисам координатных углов, имеющем центр в точке с координатами 
Множество пар лежащих в каждом таком квадрате при 
является прямоугольником.
Ответ: см. рисунке.
г) Возьмем для примера прямую, проходящую через точки с координатами 
и 
(смотрите решение соответствующего пункта варианта 9).
Ответ: да, существует.