РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9714 Добавить в вариант

Для укладки пола в квадратной комнате купили одинаковые квадратные плитки. 15 плиток оказались разбитыми. Оставшимися плитками выложили пол в другой комнате прямоугольной формы, в длину которой укладывается на 11 плиток больше, чем в ширину. Сколько плиток было куплено?

Спрятать решение

Решение.

Пусть купили x² плиток, в ширину прямоугольной комнаты укладывается y плиток. Тогда верно равенство

$y левая круглая скобка y плюс 11 правая круглая скобка = x в квадрате минус 15.$

Дискриминант квадратного уравнения

$y в квадрате плюс 11 y минус x в квадрате плюс 15 = 0$

относительно y равен

$D = 121 плюс 4 x в квадрате минус 60 = 61 плюс 4 x в квадрате .$

Чтобы уравнение имело целое решение, число $61 плюс 4 x в квадрате$ должно быть нечетным квадратом, то есть $61 плюс 4 x в квадрате =z в квадрате ,$ откуда $левая круглая скобка z минус 2 x правая круглая скобка левая круглая скобка z плюс 2 x правая круглая скобка =61.$ Так как 61  — простое число, то $z минус 2x = 1$ и $z плюс 2x = 61,$ откуда z  =  31, x  =  15.

Ответ: 225.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии	Баллы
Арифметическая ошибка	10
Уравнение составлено, но не решено	5

Олимпиада школьников Ломоносов, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2023 год

Классификатор: Олимпиадная геометрия. Замощения плитками

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь