сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Най­ди­те число раз­лич­ных бук­вен­ных со­че­та­ний, ко­то­рые можно об­ра­зо­вать, пе­ре­став­ляя буквы в слове «аллах».

б)  До­ка­жи­те тож­де­ство

 \sum_k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби .

в)  Име­ют­ся две мо­не­ты, одна из ко­то­рых фаль­ши­вая: на обеих ее сто­ро­нах изоб­ра­жен герб. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­бра­ли одну мо­не­ту. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что мо­не­та фаль­ши­вая, если она лежит гер­бом вверх?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Если пе­ре­став­лять буквы в слове «АЛлах», то будет 5!=120 пе­ре­ста­но­вок. Если те­перь за­ме­нить боль­шие буквы на ма­лень­кие, по­лу­чит­ся один из ва­ри­ан­тов пе­ре­ста­но­вок для слова «аллах», при этом каж­дый ва­ри­ант по­лу­чит­ся по 4 раза (есть два ва­ри­ан­та, какая из букв "`а"' была боль­шой, а в каж­дом из них - два ва­ри­ан­та, какая из букв «л» была боль­шой). По­это­му ответ  дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =30. 30.

б)  За­ме­тим, что

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: n!, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ! левая круг­лая скоб­ка n минус k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: n!, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ! умно­жить на k умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n минус k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: n!, зна­ме­на­тель: k! умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: n! левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на k! умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка !, зна­ме­на­тель: k! умно­жить на левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби C_n плюс 1 в сте­пе­ни k .

Зна­чит,

\sum\limits _k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: k конец дроби C_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum\limits _k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби C_n плюс 1 в сте­пе­ни k = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби \sum\limits _k=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка C_n плюс 1 в сте­пе­ни k =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \sum\limits _k=0 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка C_n плюс 1 в сте­пе­ни k минус C_n плюс 1 в сте­пе­ни 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: n плюс 1 конец дроби .

 

в)  Из трех воз­мож­ных ва­ри­ан­тов: пра­виль­ная мо­не­та лежит гер­бом вверх, фаль­ши­вая мо­не­та лежит вверх одной или же дру­гой сто­ро­ной  — нам под­хо­дят два по­след­них. Воз­мож­ны три со­бы­тия, да­ю­щие дан­ный исход  — фаль­ши­вая лежит пер­вой сто­ро­ной вверх, фаль­ши­вая лежит вто­рой сто­ро­ной вверх или на­сто­я­щая лежит вверх гер­бом. В двух из этих ва­ри­ан­тов мо­не­та ока­зы­ва­ет­ся фаль­ши­вой, по­это­му ответ  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.