РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 27 № 984 Добавить в вариант

а)  Сколько решений в зависимости от a имеет уравнение

б)  Докажите, что при любом натуральном n число $n в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка минус 1994n плюс 1993$ делится на $левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате .$

в)  Докажите неравенство

$\dfrac2 минус корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс \ldots конец аргумента конец аргумента конец аргумента 2 минус корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс \ldots конец аргумента конец аргумента больше \dfrac14,$

где в числителе дроби 1994 квадратных корня, в знаменателе  — 1993.

Спрятать решение

Решение.

а)  Действительно, функция $\varphi левая круглая скобка x правая круглая скобка =\sum пределы: от k=1 до 1994, |x минус k|$ убывает на луче $левая круглая скобка минус бесконечность ; 997 правая квадратная скобка ,$ возрастает на $левая квадратная скобка 998, плюс бесконечность правая круглая скобка$ и

$\varphi левая круглая скобка x правая круглая скобка =996 умножить на 997 плюс 997=997 в квадрате$

при любом $x принадлежит левая квадратная скобка 997; 998 правая квадратная скобка .$

Ответ: два решения при $a больше 997 в квадрате ,$ бесконечно много при $a=997 в квадрате$ и ни одного при $a меньше 997 в квадрате .$

б)  Имеем:

$n в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка минус 1994n плюс 1993=n в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка минус 1 минус 1994 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n в степени левая круглая скобка 1993 правая круглая скобка плюс n в степени левая круглая скобка 1992 правая круглая скобка плюс \ldots плюс n минус 1993 правая круглая скобка ,$ $n в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка минус 1994n плюс 1993=n в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка минус 1 минус 1994 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n в степени левая круглая скобка 1993 правая круглая скобка плюс n в степени левая круглая скобка 1992 правая круглая скобка плюс \ldots плюс n минус 1993 правая круглая скобка ,$

а многочлен, стоящий во второй скобке, также делится на $n минус 1,$ поскольку единица является его корнем.

Заметим, что данный многочлен имеет вид $P левая круглая скобка n правая круглая скобка минус P' левая круглая скобка n правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус P левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$ где $P левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка ,$ и вообще утверждение задачи имеет следующее обобщение: если $P левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — многочлен, то $P левая круглая скобка x правая круглая скобка минус P' левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка минус P левая круглая скобка a правая круглая скобка$ делится на $левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате .$

в)  Положим $x= корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 плюс \ldots плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента конец аргумента$ (1993 квадратных корней). Далее,

$дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента , знаменатель: 2 минус x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 плюс корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента ,$

поэтому исходное неравенство равносильно $корень из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента меньше 2$ или $минус 2 меньше или равно x меньше 2,$ что верно. Полезно также отметить, что данная дробь равна

$\dfrac2 минус 2 косинус \dfrac Пи 2 в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка 2 минус 2 косинус \dfrac Пи 2 в степени левая круглая скобка 1994 правая круглая скобка =\dfrac синус в квадрате \dfrac Пи 2 в степени левая круглая скобка 1996 правая круглая скобка синус в квадрате \dfrac Пи 2 в степени левая круглая скобка 1995 правая круглая скобка =\dfrac14 косинус в квадрате \dfrac Пи 2 в степени левая круглая скобка 1996 правая круглая скобка ,$

что, очевидно, больше $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра. Неравенства с числами, Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь