РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 28 № 989 Добавить в вариант

Последовательности $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка ,$ $левая фигурная скобка b_n правая фигурная скобка$ и $левая фигурная скобка c_n правая фигурная скобка$ связаны соотношениями $a_n плюс 1=\dfracb_n плюс c_n2,$ $b_n плюс 1=\dfracc_n плюс a_n2$ и $c_n плюс 1=\dfraca_n плюс b_n2.$

а)  Найдите пределы этих последовательностей, если $a_1=0,$ $b_1=1$ и $c_1=2.$

б)  Пусть

$\xi=\dfraca_1 плюс b_1 плюс c_13.$

Докажите, что число ξ является общим пределом данных последовательностей.

в)  Дан треугольник ABC с углами $дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби Пи ,$ $дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи ,$ $дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби Пи ;$ $A_1, B_1, C_1$   — точки пересечения биссектрис его углов с описанной около него окружностью, A₂, B₂, C₂  — точки пересечения биссектрис углов треугольника $A_1B_1C_1$ с этой же окружностью, и т. д. Вычислите углы треугольника A₄₀B₄₀C₄₀ с точностью до 0,01.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $a_n плюс 1 плюс b_n плюс 1 плюс c_n плюс 1=a_n плюс b_n плюс c_n.$

а)  Имеем:

$a_n плюс 1 минус 1=\dfracb_n плюс c_n2 минус 1=\dfrac1 плюс 2 минус a_n2 минус 1=\dfrac1 минус a_n2,$

поэтому $\lim\limits_n\to бесконечность левая круглая скобка 1 минус a_n правая круглая скобка =0.$ Таким образом, $\lim\limits_n\to бесконечность a_n=\lim\limits_n\to бесконечность b_n= \lim\limits_n\to бесконечность c_n=1.$

Ответ: 1.

б)  Аналогично предыдущему пункту,

$a_n плюс 1 минус \xi=\dfracb_n плюс c_n2 минус \xi=\dfrac3\xi минус a_n2 минус \xi= \dfrac\xi минус a_n2,$

далее ясно.

в)  Обозначим углы треугольника A_nB_nC_n через $альфа _n,$ $бета _n,$ $гамма _n.$ Из свойств вписанных в окружность углов очевидно (см. рис.), что $альфа _n=\dfrac бета _n плюс гамма _n2$ и т. д. Таким образом, последовательности углов рассматриваемых треугольников удовлетворяет соотношению предыдущего пункта, поэтому они имеют общий предел  — $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3,$ более того,

$\left| альфа _40 минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 |=2 в степени левая круглая скобка минус 39 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3 минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i7 правая круглая скобка ,$

а это очень маленькое число.

Ответ: $дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i3$ или $дробь: числитель: 21, знаменатель: 20 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Анализ. Последовательности, Геометрия: планиметрия. Окружности описанные

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь