Назовем почти параллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почти параллелограмма?
Заметим, что точки рассыпаны по окружности необязательно равномерно, они могут «толпиться» сколь угодно близко друг к другу, а некоторые части окружности могут быть напротив, «обделены», и расстояние между соседними точками разбиения ними может быть довольно большим, поэтому из всех данных дуг выберем самую короткую. Оценим её градусную меру β. Градусная мера β этой дуги по теореме о вписанном угле равна половине центрального угла α, опирающегося на ту же дугу.
Из оставшихся 2004 дуг, не смежных с дугой выберем самую короткую и оценим её градусную меру δ. Градусная мера δ этой дуги по теореме о вписанном угле равна половине центрального угла φ, опирающегося на ту же дугу. Получаем:
(Заметим здесь, для положительного ответа к задаче хватило бы разбиения на 184 дуги). Те же величины имеют любые вписанные углы, опирающиеся на эти дуги.
Среди оставшихся 2001 точек деления (отбросили точки, соседние с A и B) выберем точку E так, чтобы прямая a, проходящая через точку E и любую точку дуги AB разбивала плоскость на 2 полуплоскости, и чтобы в полуплоскости, не содержащей дугу CD, (обозначим эту полуплоскость γ) была хотя бы одна точка разбиения из оставшихся 2001 точек разбиения. Выберем точку F разбиения окружности из полуплоскости γ.
Рассмотрим четырёхугольник, образованный пересечением хорд AE, EB, FC, FD. Поскольку противоположные стороны этого четырёхугольника почти параллельны, то есть угол между ними меньше 1°, то это почти параллелограмм. Также по построению, этот почти параллелограмм лежит внутри круга.
Ответ: найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почти параллелограмма.