До­пу­стим сна­ча­ла, что ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния k до­ста­точ­но ве­ли­ко, и цифры этой си­сте­мы счис­ле­ния до­ста­точ­но боль­шие для того, чтобы сумма цифр всех од­но­знач­ных чисел в этой си­сте­ме счис­ле­ния 2007. Тогда сумма цифр имеет вид

Оче­вид­но, k не­от­ри­ца­тель­но. По­это­му

Здесь же уви­де­ли, что в этом слу­чае (k > 63) сумма цифр всех чисел от 1 до n не равна 2007.

Пусть те­перь Уда­лось уста­но­вить, что сумма цифр всех чисел от 1 до n равна 2007 толь­ко для ос­но­ва­ния си­сте­мы счис­ле­ния и

При по­лу­ча­ют­ся сле­ду­ю­щие суммы цифр:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 46, 48, 51, 55, 60, 66, 73, 81, 90, 100, 102, 105, 109, 114, 120, 127, 135, 144, 154, 165, 168, 172, 177, 183, 190, 198, 207, 217, 228, 240, 244, 249, 255, 262, 270, 279, 289, 300, 312, 325, 330, 336, 343, 351, 360, 370, 381, 393, 406, 420, 426, 433, 441, 450, 460, 471, 483, 496, 510, 525, 532, 540, 549, 559, 570, 582, 595, 609, 624, 640, 648, 657, 667, 678, 690, 703, 717, 732, 748, 765, 774, 784, 795, 807, 820, 834, 849, 865, 882, 900, 901, 903, 906, 910, 915, 921, 928, 936, 945, 955, 957, 960, 964, 969, 975, 982, 990, 999, 1009, 1020, 1023, 1027, 1032, 1038, 1045, 1053, 1062, 1072, 1083, 1095, 1099, 1104, 1110, 1117, 1125, 1134, 1144, 1155, 1167, 1180, 1185, 1191, 1198, 1206, 1215, 1225, 1236, 1248, 1261, 1275, 1281, 1288, 1296, 1305, 1315, 1326, 1338, 1351, 1365, 1380, 1387, 1395, 1404, 1414, 1425, 1437, 1450, 1464, 1479, 1495, 1503, 1512, 1522, 1533, 1545, 1558, 1572, 1587, 1603, 1620, 1629, 1639, 1650, 1662, 1675, 1689, 1704, 1720, 1737, 1755, 1765, 1776, 1788, 1801, 1815, 1830, 1846, 1863, 1881, 1900, 1902, 1905, 1909, 1914, 1920, 1927, 1935, 1944, 1954, 1965, 1968, 1972, 1977, 1983, 1990, 1998, 2007.

При этом

При k  =  35 по­лу­ча­ют­ся сле­ду­ю­щие суммы цифр:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 596, 598, 601, 605, 610, 616, 623, 631, 640, 650, 661, 673, 686, 700, 715, 731, 748, 766, 785, 805, 826, 848, 871, 895, 920, 946, 973, 1001, 1030, 1060, 1091, 1123, 1156, 1190, 1225, 1227, 1230, 1234, 1239, 1245, 1252, 1260, 1269, 1279, 1290, 1302, 1315, 1329, 1344, 1360, 1377, 1395, 1414, 1434, 1455, 1477, 1500, 1524, 1549, 1575, 1602, 1630, 1659, 1689, 1720, 1752, 1785, 1819, 1854, 1890, 1893, 1897, 1902, 1908, 1915, 1923, 1932, 1942, 1953, 1965, 1978, 1992, 2007.

При этом n  =  117. (Оче­вид­но, из двух чисел 117 и 216, наи­мень­шее  — 117). При всех осталь­ных k сумма цифр не равна 2007.

Ответ: сумма цифр всех чисел от 1 до n ока­зы­ва­ет­ся равна 2007 толь­ко в си­сте­мах счис­ле­ния k  =  10 (при этом n  =  216) и k  =  35 (при этом n  =  117).