Назовем почти параллелограммом четырехугольник, направления противоположных сторон которого различаются меньше, чем на 1 градус. Окружность разбили на 2007 дуг, а точки деления соединили хордами. Можно ли утверждать, что среди них найдутся 4 хорды, точки пересечения которых лежат внутри круга и являются вершинами почти параллелограмма?
Рассмотрим угловые длины дуг. Средняя длина дуги равна
что меньше чем 1°. Тогда возьмем на окружности 4 самые маленькие дуги. В самом худшем для нас случае (окружность поделилась нацело) угловые длины всех 4 дуг будут равны 0,18° градуса.
Возьмем две из них, лежащие максимально удаленно друг от друга, и соединим соответствующие точки. Угол между полученными двумя прямыми меньше или равен 0,18 градуса. Так же сделаем с двумя оставшимися прямыми. Итого, после пересечения всех четырех прямых у нас получится четырехугольник со сторонами, угол между которыми отличается от противоположного на 0,72 градуса или меньше, что заметно меньше чем один градус.
Ответ: да, можно.