Слу­чай с одним цве­том можно не рас­смат­ри­вать, по­это­му до­ка­жем, что двух цве­тов мало: вы­би­ра­ем две раз­но­цвет­ные точки, ко­то­рые могут на­хо­дить­ся на одной окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, двух цве­тов дей­стви­тель­но мало.

Те­перь до­ка­жем, что трёх цве­тов мало. Вы­би­ра­ем три раз­но­цвет­ные точки, ко­то­рые могут на­хо­дить­ся на одной окруж­но­сти (т. к. об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, во­круг ко­то­ро­го можно опи­сать окруж­ность); но, воз­мож­но по­лу­чит­ся вы­рож­ден­ный тре­уголь­ник, тогда по­ми­мо пря­мой l, на ко­то­рой лежат все эти точки (A  — крас­ная, B, C), есть точка од­но­го из трёх цве­тов, на­при­мер  — крас­но­го (точка D), и мы вы­би­ра­ем точки B, C и D ко­то­рые опять об­ра­зу­ют тре­уголь­ник.

До­ка­жем, что четырёх цве­тов нам хва­тит. На пря­мой m за­кра­сим по одной точке каж­до­го из трёх цве­тов (точки A, B и C), а всю осталь­ную плос­кость  — четвёртым, тогда точки A, B и C ни­ко­гда не будут на­хо­дить­ся на одной окруж­но­сти, т. е. на любой окруж­но­сти будет от­сут­ство­вать хотя бы один цвет.

Ответ: 4.