РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9994 Добавить в вариант

Докажите, что $x в степени левая круглая скобка 2006 правая круглая скобка плюс x плюс 1$ можно разложить в произведение двух многочленов (выше первой степени) с целыми коэффициентами.

Спрятать решение

Решение.

Пример разложения:

$левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2004 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 2003 правая круглая скобка плюс x в степени левая круглая скобка 2001 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка плюс \ldots плюс x в кубе минус x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка 2006 правая круглая скобка плюс x плюс 1 .$ $левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 2004 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 2003 правая круглая скобка плюс x в степени левая круглая скобка 2001 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка плюс \ldots плюс x в кубе минус x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка \times$
$\times левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка 2006 правая круглая скобка плюс x плюс 1 .$

Решение по теореме Безу: исходный многочлен не делится на $x плюс 1,$ т. к. −1 не является его корнем. Между тем ясно, что произведение многочленов должно иметь вид:

$левая круглая скобка P левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс x плюс 1 правая круглая скобка .$

Пусть теперь $P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате .$ Поделим $x в степени левая круглая скобка 2006 правая круглая скобка плюс x плюс 1$ на $x в квадрате плюс x плюс 1.$ У нас получится

$x в степени левая круглая скобка 2004 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 2003 правая круглая скобка плюс x в степени левая круглая скобка 2001 правая круглая скобка минус x в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка плюс \ldots плюс x в кубе минус x в квадрате плюс 1,$

что удовлетворяет условию задачи.

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 9 класс, Дистанционный тур, 2006 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Помощь