РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9995 Добавить в вариант

Длины двух сторон треугольника зафиксированы, а третья может меняться. В каком случае радиус окружности, описанной вокруг такого треугольника, окажется минимально возможным?

Спрятать решение

Решение.

Обоснование: из формулы для радиуса описанной окружности

$R= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 синус a конец дроби ,$

(a  — одна из фиксированных сторон) получим взятием производной, что

$R'= минус 2 косинус левая круглая скобка альфа правая круглая скобка дробь: числитель: альфа , знаменатель: 4 синус в квадрате альфа конец дроби .$

Экстремум функции $R левая круглая скобка альфа правая круглая скобка$ будет при $R в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =0$ и в этой же точке функция принимает наименьшее значение. Отсюда $косинус альфа минус 0$ и $синус левая круглая скобка альфа правая круглая скобка не равно q 0.$ Значит,

$a= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,$

где $k=0,1,2 \ldots$ Т. к. у нас треугольник, то $альфа = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: радиус окружности, описанной вокруг такого треугольника, окажется минимально возможным при условии, что треугольник будет прямоугольным.

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 9 класс, Дистанционный тур, 2006 год

Классификатор: Анализ. Применение производной в геометрии, Методы геометрии. Теорема синусов, Геометрия: планиметрия. Экстремальные задачи

Спрятать решение · Помощь