Про­це­ду­ра по­стро­е­ния се­че­ния де­ся­ти­гран­ни­ка плос­ко­стью ASU со­сто­ит из двух шагов:

1)  От­ме­ча­ем точку K пе­ре­се­че­ния пря­мых SU и QR, точку $L$ пе­ре­се­че­ния пря­мых SU и WV и точку M пе­ре­се­че­ния пря­мых SU и PW;

2)  Про­во­дим пря­мую AM, точку ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром DW обо­зна­чим G, про­во­дим пря­мую GL; точку ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром DV обо­зна­чим F, про­во­дим пря­мую AK, точку ее пе­ре­се­че­ния с реб­ром BR обо­зна­чим E.

Ше­сти­уголь­ник AESUFG и будет се­че­ни­ем.

По­сколь­ку, по усло­вию, ABCD  — квад­рат, а DAPW, ABRQ, BCTS и CDVU пря­мо­уголь­ни­ки, то

Кроме того, ве­ли­чи­ны всех углов вось­ми­уголь­ни­ка PQRSTUVW равны между собой, по­это­му, по тео­ре­ме о сумме ве­ли­чин углов мно­го­уголь­ни­ка, они равны Из этого вы­те­ка­ет, что пря­мые ST и WP па­рал­лель­ны, пря­мые QR и UV па­рал­лель­ны, пря­мые QR и ST пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Это озна­ча­ет, что че­ты­рех­уголь­ник IJXY, об­ра­зо­ван­ный пря­мы­ми QR, ST, UV и WP  — пря­мо­уголь­ник. Ясно, что тре­уголь­ни­ки PIQ, RJS, TXU и WYP пря­мо­уголь­ные и рав­но­бед­рен­ные. Обо­зна­чив и учи­ты­вая, что и имеем

от­ку­да на­хо­дим

то есть IJXY квад­рат. Далее, рас­смот­рим точки A₁, B₁, C₁ и D₁, яв­ля­ю­щи­е­ся ор­то­го­наль­ны­ми про­ек­ци­я­ми точек A, B, C и D на плос­кость PQRSTUVW со­от­вет­ствен­но. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах,

По­сколь­ку A₁B₁C₁D₁ тоже квад­рат, то точки Q, A₁, D₁, V лежат на одной пря­мой, из чего сле­ду­ет Итак, то есть

Обо­зна­чив ор­то­го­наль­ные про­ек­ции точек E, F и G на плос­кость PQRSTUVW бук­ва­ми E₁, F₁ и G₁ со­от­вет­ствен­но, по­лу­ча­ем чер­теж.

Мы знаем, что

Из вы­ше­при­ве­ден­ных рас­суж­де­ний сле­ду­ет, что длины всех от­рез­ков A₁P, A₁Q, B₁R, B₁S, C₁T, C₁U, D₁V и D₁W тоже равны 1.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков UB₁S и URK имеем

от­ку­да Затем, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков RKE и B₁A₁E на­хо­дим

Пусть Из тре­уголь­ни­ка UB₁S по­лу­ча­ем

и из тре­уголь­ни­ка MPS имеем Далее, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MPA₁ и MWG₁ вы­те­ка­ет

Из тре­уголь­ни­ка MWZ на­хо­дим после чего, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков LWZ и LVU по­лу­ча­ем

На­ко­нец, за­пи­сы­вая тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка WD₁V и се­ку­щей G₁F₁, имеем

Те­перь можно вы­чис­лить пло­щадь S* ор­то­го­наль­ной про­ек­ции A₁E₁SUF₁G₁ по­стро­ен­но­го се­че­ния на плос­кость PQRSTUVW:

Опу­стим на пря­мую SU пер­пен­ди­ку­ляр A₁H. Его длина равна а угол A₁HA (так как будет углом β между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния PQRSTUVW. Тогда, если обо­зна­чить ис­ко­мое рас­сто­я­ние (длину от­рез­ка AA₁) за h, то, с одной сто­ро­ны,

и, с дру­гой сто­ро­ны,

Решая урав­не­ние на­хо­дим

Ответ:

Бо­ко­вые ребра TA, TB, и TC тет­ра­эд­ра TABC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC под уг­ла­ми α, β и γ со­от­вет­ствен­но, Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC, угол AHB равен то есть До­ка­жем, что

От­ре­зок TD пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AB, пря­мая TD  — про­ек­ция CD на плос­кость ATB, по­сколь­ку сто­ро­на TС пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти (ATB). По тео­ре­ме о 3-x пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок CD пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не AB. Тогда пря­мые TH и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны, для осталь­ных высот тре­уголь­ни­ка ACB рас­суж­де­ния ана­ло­гич­ные. Тока H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок TH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда

от­сю­да

По­сколь­ку и то

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 45°.