Двое вы­би­ра­ют одну из 6 дорог слу­чай­но, рав­но­ве­ро­ят­но и не­за­ви­си­мо, по­это­му ве­ро­ят­ность вы­бо­ры за­дан­ной упо­ря­до­чен­ной пары дорог равна 1/36. Воз­мож­ные рас­сто­я­ние через час равны 0, 5 км, км и 10 км со­от­вет­ствен­но для вы­бо­ра одной до­ро­ги, двух со­сед­них, двух, рас­хо­дя­щих­ся под углом 120° и про­ти­во­по­лож­ных. Пре­вы­ша­ют 7 рас­сто­я­ния 10 и Рас­сто­я­ние 10 по­лу­ча­ет­ся в 6 слу­ча­ях, рас­сто­я­ние   — в 12 слу­ча­ях. Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ:

Двое вы­би­ра­ют одну из 6 дорог слу­чай­но, рав­но­ве­ро­ят­но и не­за­ви­си­мо, по­это­му ве­ро­ят­ность вы­бо­ры за­дан­ной упо­ря­до­чен­ной пары дорог равна 1/36. Воз­мож­ные рас­сто­я­ние через час равны 0, 5 км, км и 10 км со­от­вет­ствен­но для вы­бо­ра одной до­ро­ги, двух со­сед­них, двух, рас­хо­дя­щих­ся под углом 120° и про­ти­во­по­лож­ных. Пре­вы­ша­ют 7 рас­сто­я­ния 10 и Рас­сто­я­ние 10 по­лу­ча­ет­ся в 6 слу­ча­ях, рас­сто­я­ние   — в 12 слу­ча­ях. Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ:

а)  Пусть x_n  — число спо­со­бов за­мо­ще­ния по­лос­ки «до­ми­нош­ка­ми». Край­няя левая до­ми­нош­ка может ле­жать так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, а или б, в пер­вом слу­чае име­ют­ся спо­со­бов за­мо­ще­ния остав­шей­ся по­лос­ки, во вто­ром их Зна­чит, а так как и то, рас­суж­дая по ин­дук­ции, по­лу­ча­ем, что x_n  — это n-е число Фи­бо­нач­чи.

б)  До этой фор­му­лы можно до­га­дать­ся, рас­смот­рев не­сколь­ко зна­че­ний n, и затем до­ка­зать ее по ин­дук­ции. При­ве­дем, од­на­ко, дру­гое рас­суж­де­ние.

Имеем: ко­эф­фи­ци­ент при в левой части равен сумме от­ку­да и сле­ду­ет ука­зан­ное тож­де­ство.

Ответ:

в)   Най­дем ве­ро­ят­ность того, что каж­дый раз уче­ник вы­хо­дит к доске, не по­про­сив под­нять­ся ни­ко­го из своих од­но­класс­ни­ков. В пер­вый раз учи­тель дол­жен вы­звать Алешу или Ев­ге­ния (см. рис.), ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна во вто­рой  — опять-таки двух край­них (ве­ро­ят­ность  — и так далее, таким об­ра­зом с ве­ро­ят­но­стью никто ни­ко­му не по­ме­ша­ет. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ:

За­ме­ча­ем, что Де­ли­мость на 5 вы­пол­не­на в любом слу­чае, так как число окан­чи­ва­ет­ся пятёркой. Для ис­сле­до­ва­ния де­ли­мо­сти на 11 су­ще­ствен­но, на каких по­зи­ци­ях стоят за­ме­ня­е­мые цифры.

Пер­вый слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах одной чётно­сти (оба чётные или оба нечётные). Для де­ли­мо­сти на 11 нужно, чтобы сумма двух новых цифр де­ли­лась на 11, а так как каж­дая цифра за­клю­че­на в пре­де­лах [1; 9], то сумма долж­на быть равна 11. За­ме­тим, что де­ли­мость на 9 при этом ав­то­ма­ти­че­ски вы­пол­ня­ет­ся (сумма цифр числа равна Под­хо­дят сле­ду­ю­щие пары цифр: 2−−9, 3−−8, 4−−7, 5−−6. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство спо­со­бов осу­ще­ствить за­ме­ну. Сна­ча­ла вы­би­ра­ем одну из этих четырёх пар цифр (4 спо­со­ба), затем ста­вим мень­шую цифру на место лю­бо­го из нулей (100 спо­со­бов); на­ко­нец на место той же самой чётно­сти ста­вим боль­шую цифру (49 спо­со­бов)  — итого вы­хо­дит

Вто­рой слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах раз­ной чётно­сти. Тогда для де­ли­мо­сти на 11 тре­бу­ет­ся, чтобы эти цифры были оди­на­ко­вы­ми (обо­зна­чим каж­дую из них через k), а для де­ли­мо­сти на 9 надо, чтобы Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко Такая за­ме­на может быть осу­ществ­ле­на спо­со­ба­ми (вы­би­ра­ем одно из пя­ти­де­ся­ти чётных мест и одно из пя­ти­де­ся­ти нечётных). В сумме по­лу­ча­ем

Ответ: 22 100.

За­ме­ча­ем, что Де­ли­мость на 2 вы­пол­не­на в любом слу­чае, так как число окан­чи­ва­ет­ся восьмёркой. Для ис­сле­до­ва­ния де­ли­мо­сти на 11 су­ще­ствен­но, на каких по­зи­ци­ях стоят за­ме­ня­е­мые цифры.

Пер­вый слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах одной чётно­сти (оба чётные или оба нечётные). Для де­ли­мо­сти на 11 нужно, чтобы сумма двух новых цифр де­ли­лась на 11, а так как каж­дая цифра за­клю­че­на в пре­де­лах [1; 9], то сумма долж­на быть равна 11. За­ме­тим, что де­ли­мость на 9 при этом ав­то­ма­ти­че­ски вы­пол­ня­ет­ся (сумма цифр числа равна Под­хо­дят сле­ду­ю­щие пары цифр: 2−−9, 3−−8, 4−−7, 5−−6. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство спо­со­бов осу­ще­ствить за­ме­ну. Сна­ча­ла вы­би­ра­ем одну из этих четырёх пар цифр (4 спо­со­ба), затем ста­вим мень­шую цифру на место лю­бо­го из нулей (80 спо­со­бов); на­ко­нец на место той же самой чётно­сти ста­вим боль­шую цифру (39 спо­со­бов)  — итого вы­хо­дит спо­со­бов. той же самой чётно­сти ста­вим боль­шую цифру (39 спо­со­бов)  — итого вы­хо­дит

Вто­рой слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах раз­ной чётно­сти. Тогда для де­ли­мо­сти на 11 тре­бу­ет­ся, чтобы эти цифры были оди­на­ко­вы­ми (обо­зна­чим каж­дую из них через k), а для де­ли­мо­сти на 9 надо, чтобы Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко Такая за­ме­на может быть осу­ществ­ле­на спо­со­ба­ми (вы­би­ра­ем одно из пя­ти­де­ся­ти чётных мест и одно из пя­ти­де­ся­ти нечётных). В сумме по­лу­ча­ем

Ответ: 14 080.

За­ме­ча­ем, что Де­ли­мость на 5 вы­пол­не­на в любом слу­чае, так как число окан­чи­ва­ет­ся пятёркой. Для ис­сле­до­ва­ния де­ли­мо­сти на 11 су­ще­ствен­но, на каких по­зи­ци­ях стоят за­ме­ня­е­мые цифры.

Пер­вый слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах одной чётно­сти (оба чётные или оба нечётные). Для де­ли­мо­сти на 11 нужно, чтобы сумма двух новых цифр де­ли­лась на 11, а так как каж­дая цифра за­клю­че­на в пре­де­лах [1; 9], то сумма долж­на быть равна 11. За­ме­тим, что де­ли­мость на 9 при этом ав­то­ма­ти­че­ски вы­пол­ня­ет­ся (сумма цифр числа равна Под­хо­дят сле­ду­ю­щие пары цифр: 2−−9, 3−−8, 4−−7, 5−−6. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство спо­со­бов осу­ще­ствить за­ме­ну. Сна­ча­ла вы­би­ра­ем одну из этих четырёх пар цифр (4 спо­со­ба), затем ста­вим мень­шую цифру на место лю­бо­го из нулей (100 спо­со­бов); на­ко­нец на место той же самой чётно­сти ста­вим боль­шую цифру (49 спо­со­бов)  — итого вы­хо­дит

Вто­рой слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах раз­ной чётно­сти. Тогда для де­ли­мо­сти на 11 тре­бу­ет­ся, чтобы эти цифры были оди­на­ко­вы­ми (обо­зна­чим каж­дую из них через k), а для де­ли­мо­сти на 9 надо, чтобы Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко Такая за­ме­на может быть осу­ществ­ле­на спо­со­ба­ми (вы­би­ра­ем одно из пя­ти­де­ся­ти чётных мест и одно из пя­ти­де­ся­ти нечётных). В сумме по­лу­ча­ем

Ответ: 22 100.

За­ме­ча­ем, что Де­ли­мость на 2 вы­пол­не­на в любом слу­чае, так как число окан­чи­ва­ет­ся восьмёркой. Для ис­сле­до­ва­ния де­ли­мо­сти на 11 су­ще­ствен­но, на каких по­зи­ци­ях стоят за­ме­ня­е­мые цифры.

Пер­вый слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах одной чётно­сти (оба чётные или оба нечётные). Для де­ли­мо­сти на 11 нужно, чтобы сумма двух новых цифр де­ли­лась на 11, а так как каж­дая цифра за­клю­че­на в пре­де­лах [1; 9], то сумма долж­на быть равна 11. За­ме­тим, что де­ли­мость на 9 при этом ав­то­ма­ти­че­ски вы­пол­ня­ет­ся (сумма цифр числа равна Под­хо­дят сле­ду­ю­щие пары цифр: 2−−9, 3−−8, 4−−7, 5−−6. Под­счи­та­ем ко­ли­че­ство спо­со­бов осу­ще­ствить за­ме­ну. Сна­ча­ла вы­би­ра­ем одну из этих четырёх пар цифр (4 спо­со­ба), затем ста­вим мень­шую цифру на место лю­бо­го из нулей (80 спо­со­бов); на­ко­нец на место той же самой чётно­сти ста­вим боль­шую цифру (39 спо­со­бов)  — итого вы­хо­дит

Вто­рой слу­чай. За­ме­ня­ем два нуля на ме­стах раз­ной чётно­сти. Тогда для де­ли­мо­сти на 11 тре­бу­ет­ся, чтобы эти цифры были оди­на­ко­вы­ми (обо­зна­чим каж­дую из них через k), а для де­ли­мо­сти на 9 надо, чтобы Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко Такая за­ме­на может быть осу­ществ­ле­на спо­со­ба­ми (вы­би­ра­ем одно из пя­ти­де­ся­ти чётных мест и одно из пя­ти­де­ся­ти нечётных). В сумме по­лу­ча­ем

Ответ: 14 080.

Для того чтобы число де­ли­лось на 45, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом, (это можно сде­лать 9 · 9 · 9 · 9 спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 9. По­сколь­ку дан­ные шифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 13 122.

Для того чтобы число де­ли­лось на 18, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать или 8 ( 5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать 9 · 9 · 9 спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 9. По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом. При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 3645.

Для того чтобы число де­ли­лось на 15, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 5184.

Для того чтобы число де­ли­лось на 6, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6, 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 6), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2160.

Для того чтобы число де­ли­лось на 75, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 25 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 25, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 5 (1 спо­соб).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2592.

Для того чтобы число де­ли­лось на 12, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 4 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 4, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0,4 или 8 (3 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 3. По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 1296.

Для того чтобы число де­ли­лось на 45, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего спо­со­ба.

Ответ: 13 122.

Для того чтобы число де­ли­лось на 18, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6 или 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом. При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 3645.

Для того чтобы число де­ли­лось на 45, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 9. По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом. При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 13 122.

Для того чтобы число де­ли­лось на 18, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 9. Для того чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6 или 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на де­вять, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на 9. По­сколь­ку дан­ные цифры дают все воз­мож­ные остат­ки от де­ле­ния на 9 (0, 1, 2, ..., 8), и при этом каж­дый оста­ток встре­ча­ет­ся ровно 1 раз, то по­след­нюю цифру можно вы­брать одним спо­со­бом. При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 3645.

Для того чтобы число де­ли­лось на 15, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 5 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 5, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0 или 5 (2 спо­со­ба).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 5184.

Для того чтобы число де­ли­лось на 6, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 2 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 2, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 0, 2, 4, 6, 8 (5 спо­со­бов).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем три цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а четвёртую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 6), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 8), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: 2160.

Для того чтобы число де­ли­лось на 75, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы оно де­ли­лось на 25 и на 3. Для того, чтобы вы­пол­ни­лась де­ли­мость на 25, в ка­че­стве по­след­ней цифры из име­ю­щих­ся ва­ри­ан­тов можем вы­брать 5 (1 спо­соб).

Чтобы обес­пе­чить де­ли­мость на три, по­сту­пим так. Вы­бе­рем че­ты­ре цифры про­из­воль­ным об­ра­зом (это можно сде­лать спо­со­ба­ми), а пятую цифру под­берём так, чтобы сумма всех цифр числа де­ли­лась на По­сколь­ку среди ука­зан­ных цифр есть две цифры, де­ля­щи­е­ся на 3 (0 и 9), две цифры, да­ю­щие оста­ток 1 от де­ле­ния на 3 (4 и 7) и две цифры, да­ю­щие оста­ток 2 от де­ле­ния на 3 (2 и 5), то этот выбор можно осу­ще­ствить двумя спо­со­ба­ми.

При­ме­няя пра­ви­ло про­из­ве­де­ния, по­лу­ча­ем, что всего

Ответ: