РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1158 Добавить в вариант

На каждой из прямых y = 0 и y = 2 отмечено по 64 точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., 64. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 128 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?

Решение.

Есть две возможности.

1)  Гипотенуза треугольника лежит на одной из прямых, а вершина прямого угла - на второй прямой. Пусть ABC  — данный треугольник с прямым углом при вершине C, CH  — его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что $H в квадрате =A H умножить на B H,$ то есть $A H умножить на B H=4.$ Поскольку AH и B H целые числа, то возможны следующие случаи: $A H=B H=2,$ $A H=4$ и $B H=1,$ $A H=1$ и $B H=4.$

В первом из этих случаев гипотенузу AB, равную 4, можно расположить $60 умножить на 2=120$ способами (по $64 минус 4$ способов расположения на каждой из двух данных прямых), при этом положение вершины C определяется однозначно. Во втором и третьем случаях длина гипотенузы равна 5, и её можно расположить $2 левая круглая скобка 64 минус 5 правая круглая скобка =118$ способами. Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины  — получаем $2 умножить на 118=236$ способов.

2)  Один из катетов треугольника (назовём его BC) перпендикулярен данным прямым, а второй катет (AC) лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета BC можно выбрать 64 способами. Для каждого варианта расположения катета BC вершину A можно расположить 126 способами (подходят все точки кроме уже выбранных B и C)  — всего выходит $64 умножить на 126=8064$ способа. Итого получаем

$120 плюс 236 плюс 8064=8420$ способов.

Ответ: 8420.

Аналоги к заданию № 1151: 1158 Все

Решение · Критерии · Помощь