РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1229 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: параллелограмм, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Дан параллелограмм ABCD. Окружность $\Omega$ с радиусом 17 описана вокруг треугольника AMB, где M  — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. $\Omega$ вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 8. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.

Решение.

Обозначим градусные меры дуг BM и AE через $2 альфа$ и $4 альфа$ соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле

$\angle A B E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 альфа =2 альфа ,$

$\angle B A M= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 альфа = альфа .$

Значит,

$\angle A B C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A B E=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа ;$

$\angle A C B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B A C минус \angle A B C= альфа .$

В треугольнике ABC углы при вершинах A и C равны, поэтому треугольник ABC равнобедренный, $A B=B C .$ Следовательно, ABCD  — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB  — диаметр окружности. Значит,

$\angle B K A=\angle B E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Так как BE и AK  — параллельны, получаем, что AEBK  — прямоугольник, а значит, EK  — также диаметр. Наконец, из параллельности AD и BC имеем

$\angle C A D=\angle A C B= альфа .$

Диаметр окружности равен 17, значит, $E K=A B=17;$ $A D=A B=17$ (как стороны ромба). Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), $B M=8.$ Тогда

$A M= корень из: начало аргумента: A B в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус B M в квадрате правая круглая скобка =15,$

и из треугольника ABM находим, что

$косинус альфа = дробь: числитель: A M, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 17 конец дроби ,$

$синус альфа = дробь: числитель: B M, знаменатель: A B конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби .$

Отсюда

$синус 2 альфа =2 синус альфа косинус альфа = дробь: числитель: 240, знаменатель: 289 конец дроби ,$

$косинус 2 альфа = косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа = дробь: числитель: 161, знаменатель: 289 конец дроби .$

Далее вычисляем:

$B K=A B синус 2 альфа =17 умножить на дробь: числитель: 240, знаменатель: 289 конец дроби = дробь: числитель: 240, знаменатель: 17 конец дроби ; \quad B E=A B косинус 2 альфа =17 умножить на дробь: числитель: 161, знаменатель: 289 конец дроби = дробь: числитель: 161, знаменатель: 17 конец дроби .$

Так как EK  — диаметр, то $\angle E M K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и

$E M= корень из: начало аргумента: E K в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента минус K M в квадрате правая круглая скобка =15 .$

Следовательно, периметр треугольника EBM равен

$15 плюс 8 плюс дробь: числитель: 161, знаменатель: 17 конец дроби = дробь: числитель: 552, знаменатель: 17 конец дроби .$

Ответ: $AB=1,$ $BK= дробь: числитель: 240, знаменатель: 17 конец дроби ,$ $P_EBM= дробь: числитель: 552, знаменатель: 17 конец дроби .$

Критерии проверки:

Доказано, что ABCD ромб — 2 балла.

Без доказательства использовано, что EAKB прямоугольник (и при этом не доказано, что ABCD ромб) — снять 2 балла.

Найден отрезок AD (BC) — 1 балл.

Найден отрезок BK — 2 балла.

Найден периметр треугольника EBN — 2 балла.

Аналоги к заданию № 1222: 1229 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе