На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют натуральные координаты, а центр находится в точке (55; 25). Найдите количество таких квадратов.
Решение.
Проведём через данную точку (55; 25) вертикальную и горизонтальную прямые и Возможны два варианта.
a) Вершины квадрата лежат на этих прямых (а его диагонали параллельны осям координат). Тогда «нижняя» вершина квадрата может быть расположена 24 способами:
(положение остальных вершин при этом определяется однозначно).
б) Вершины квадрата не лежат на указанных прямых. Это означает, что вершины лежат по одной в каждой из четырёх частей, на которые прямые и разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат Получаем способов.