На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют натуральные координаты, а центр находится в точке (55; 40). Найдите количество таких квадратов.
Решение.
Проведём через данную точку (55; 40) вертикальную и горизонтальную прямые и Возможны два варианта.
а) Вершины квадрата лежат на этих прямых (а его диагонали параллельны осям координат). Тогда «нижняя» вершина квадрата может быть расположена 39 способами: (55; 1), (55; 1), ..., (55; 39) (положение остальных вершин при этом определяется однозначно).
б) Вершины квадрата не лежат на указанных прямых. Это означает, что вершины лежат по одной в каждой из четырёх частей, на которые прямые и разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались натуральными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат Получаем способов. Общее количество способов равно
Верный подсчёт — 2 балла (если в произведении a · b один или оба множителя отличаются от верного на 1, то 1 балл вместо 2).
Если в решении рассматриваются только квадраты, стороны и/или диагонали которых параллельны осями координат, то 0 баллов за задачу.
и 
Возможны два варианта.
и 
разделяют плоскость. Рассмотрим «левую нижнюю» вершину (её местоположение однозначно определяет остальные вершины). Для того, чтобы координаты всех вершин квадрата оказались натуральными, необходимо и достаточно, чтобы эта вершина попала в квадрат 
Получаем 
способов. Общее количество способов равно 