РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1587 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Неравенства рациональные, Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения рациональные, Методы алгебры. Использование геометрических интерпретаций

Решите систему

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате меньше или равно 1,16x в степени 4 минус 8x в квадрате y в квадрате плюс y в степени 4 минус 40x в квадрате минус 10y в квадрате плюс 25=0. конец системы .$

Решение.

Преобразуем уравнение системы:

$16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 8 x в квадрате y в квадрате плюс y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 40 x в квадрате минус 10 y в квадрате плюс 25=0 равносильно 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 8 x в квадрате y в квадрате плюс y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 40 x в квадрате минус 10 y в квадрате плюс 25=16 x в квадрате y в квадрате равносильно$ $16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 8 x в квадрате y в квадрате плюс y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 40 x в квадрате минус 10 y в квадрате плюс 25=0 равносильно$
$равносильно 16 x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 8 x в квадрате y в квадрате плюс y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 40 x в квадрате минус 10 y в квадрате плюс 25=16 x в квадрате y в квадрате равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 10 левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка плюс 25=16 x в квадрате y в квадрате равносильно левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс y в квадрате минус 5 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 4 x y правая круглая скобка в квадрате равносильно$ $равносильно левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 10 левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка плюс 25=16 x в квадрате y в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4 x в квадрате плюс y в квадрате минус 5 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 4 x y правая круглая скобка в квадрате равносильно$

$равносильно левая квадратная скобка \begin{align 4 x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 5 = 4 x y , 4 x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс y в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 5 = минус 4 x y \endarray равносильно левая квадратная скобка \begin{align левая круглая скобка 2 x минус y правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 5 , левая круглая скобка 2 x плюс y правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 5 \endarray равносильно левая квадратная скобка \begin{align 2 x минус y=\pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , 2 x плюс y=\pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . \endarray$

В каждом из четырёх случаев выражаем y и подставляем в неравенство. Если $y=2 x плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ то

$x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 x плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно 5 x в квадрате плюс 4 x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 4 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$ $x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 x плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 1 равносильно 5 x в квадрате плюс 4 x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 4 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно x= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$

Тогда $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби .$ Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения:

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Уравнение системы разложено на 4 линейных множителя — 4 балла.

Найдено решение (для каждого из четырех случаев) — 1 балл.

Если далее при поиске решений неравенство заменяется уравнением, то добавляется не более 1 балла за все случаи.

Уравнение системы разложено на два квадратичных множителя и других продвижений нет — 2 балла за задачу.

Неравенство системы заменено уравнением и при этом второе уравнение не разложено на множители — не более 1 балла за задачу.

Аналоги к заданию № 1580: 1587 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе