Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Даны две правильные четырехугольные пирамиды с плоским углом при вершине 
Они имеют общую боковую грань и не имеют других общих точек. В пирамиды вписаны шары радиуса r. Третий шар радиуса R касается внешним образом обеих пирамид и вписанных в них шаров. Найдите отношение R к r.
Пусть M — точка касания с гранью ASB шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается ASB и внешний шар. Поэтому точка M лежит на отрезке OO1, причем 
Аналогично получается, что 
Выберем точку N на отрезке OK так, что NM перпендикулярна OO1, и положим 
(см. верхний рисунок). Тогда 
—
и 
Опустим из точек A и C перпендикуляры на ребро BS. Они придут в одну точку L, так как треугольники ASB и BSC равны. По доказанному 
Заметим, что 
