Даны натуральные числа от 1 до 2040, причем n чисел покрашены в зеленый цвет. При каком наибольшем n может оказаться так, что ни одна степень двойки не покрашена и не представима в виде суммы двух зеленых чисел?
Решение. Рассмотрим пары вида 
где 
В каждой паре имеется хотя бы одно непокрашенное число, поскольку
Аналогичным образом получается, что пары (1, 7), (2, 6), (3, 5) содержат не менее трех непокрашенных чисел. Наконец, числа 4 и 1024, не попавшие ни в одну из пар, по условию тоже не окрашены. Таким образом, имеется не менее 1021 непокрашенных чисел, откуда 
Покажем, что полученная оценка реализуется. Покрасим числа 5, 6, 7, а также все числа от 1025 до 2040. Пусть m и n — зеленые числа. Нам достаточно проверить, что 
не является степенью двойки. Если m, 
то это очевидно. В случае 
мы получаем
Наконец, если 
и 
то 
Ответ: 1019.
Ответ: 1019.
