В угол BCA вписана окружность радиуса 1 с центром в точке ܱO1. Синус угла O1CA равен 
Вторая окружность касается первой окружности и сторон угла. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.
Решение. 
Как известно, центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Пусть C — вершина угла, O1 — центр первой окружности.
Ситуация один: центр второй окружности O2 лежит за пределами отрезка CO1 (см. рис. верхний). Пусть F — точка касания первой окружности (с центром O1) с одной из сторон угла, a G — точка касания второй окружности (с центром O2) с той же стороной угла, P — точка касания этих окружностей. По условию:
Тогда из прямоугольного треугольника O1CF: 
а CP = 4.
Пусть радиус окружности с центром O2 равен R. Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника O2CG получаем: 
т. е. 
откуда R = 2. Найдём отрезок FG. Для этого проведём через центр первой окружности O1 перпендикуляр O1M на радиус O2G. Тогда в прямоугольном треугольнике O1MO2:
и
Тогда по теореме Пифагора:
Теперь через центр искомой третьей окружности O3 проведём прямую, параллельную прямой FG. Пусть эта прямая пересекает радиус O1F в точке K, а радиус O2G в точке N. Рассмотрим прямоугольный треугольник O1KO3. Обозначим радиус искомой окружности r. Тогда 
и 
По теореме Пифагора:
А теперь из прямоугольного треугольника O3NO2 имеем:
и
По теореме Пифагора:
Так как: 
то 
откуда:
и
Другой вариант записи ответа:
Ситуация два: центр второй окружности O2 лежит на отрезке CO1 (см. рис. нижний). В этом случае получится картинка, подобная той, что была в ситуации один (см. рис. верхний), но теперь большей будет первая окружность (с центром O1). Коэффициент подобия картинок равен 
поэтому легко рассчитать все элементы чертежа, включая ответ. Так, 
и 
Другой вариант записи ответа:
Ответ: 
или 
Критерии проверки:| Критерии | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обеих ситуациях | 15 |
| Обоснованно получен верный ответ только в одной из ситуаций | 10 |
| Сделаны существенные продвижения в решении задачи, например, хотя бы в одной из ситуаций верно найден радиус второй окружности и отрезок FG (или равный ему отрезок), но не найден ни один верный ответ ни в одной из ситуаций | 5 |
| Все остальные случаи | 0 |
Ответ: или
