Найдите все значения параметров a и b, при которых уравнение
имеет единственное решение если при и при Укажите это решение при каждом из найденных значение a и b.
Решение.
Преобразуем исходное выражение:
Сделаем замену Получим уравнение
Пусть при некотором значении параметра a это уравнение имеет единственное решение y0. Приходим к уравнению Если то функция
на каждом промежутке принимает все значения из интервала (на каждом из указанных промежутков функция принимает все значения, принадлежащие а функция ограничена). Таким образом, уравнение при будет иметь бесконечно много решений, что не удовлетворяет условию задачи. При имеем решение единственное.
Итак, и необходимо выяснить, при каких a уравнение
имеет единственное решение.
1) Если то Следовательно, при уравнение имеет один отрицательный корень
2) Если Сделаем замену приходим к уравнению
а) при — единственное решение;
б) при имеем квадратное уравнение, которое будет иметь два различных неотрицательных решения при следующих условиях
Уравнение (*) будет иметь одно неотрицательное решение,
3.1) если тогда Имеем и
3.2) если
3.3) если
таких a нет.
Итак, при уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень
и
При уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень
при 
и 
при 
Укажите это решение при каждом из найденных значение a и b.
Получим уравнение 
Если 
то функция 
принимает все значения из интервала 
(на каждом из указанных промежутков функция 
принимает все значения, принадлежащие 
а функция 
ограничена). Таким образом, уравнение 
при 
будет иметь бесконечно много решений, что не удовлетворяет условию задачи. При 
имеем 
решение единственное. 
и необходимо выяснить, при каких a уравнение 
то 
Следовательно, при 
уравнение имеет один отрицательный корень 
Сделаем замену 
приходим к уравнению 
— единственное решение; 
имеем квадратное уравнение, которое будет иметь два различных неотрицательных решения при следующих условиях 
тогда 
Имеем 
и 
уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень 
уравнение (*) имеет ровно один неотрицательный корень 
