РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3868 Добавить в вариант

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Графики, Задачи с параметрами. Необходимые и достаточные условия, Задачи с параметрами. Неравенства, Задачи с параметрами. Параметры и тригонометрия, Задачи с параметрами. Уравнение окружности, Методы алгебры. Замена переменной

Найдите все значения параметра b, при котором для любого значения параметра $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка$ неравенство

$тангенс в квадрате x плюс 4 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка тангенс x плюс a в квадрате плюс b в квадрате минус 18 меньше 0$

выполняется при каждом $x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

Сделаем замену $y= тангенс x,$ $y принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка .$ Получаем

$y в квадрате плюс 4 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка y плюс a в квадрате плюс b в квадрате минус 18 меньше 0.$

Рассмотрим функцию

$f левая круглая скобка y правая круглая скобка =y в квадрате плюс 4 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка y плюс a в квадрате плюс b в квадрате минус 18.$

Ее графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке с абсциссой $y_0= минус 2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка .$ Выясним, при каких значениях a и b неравенство $f левая круглая скобка y правая круглая скобка меньше 0$ выполняется для любого $y принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка .$ Представим систему и и график к ней (верхний рис.):

$система выражений f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше 0,f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 25, левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка в квадрате меньше 25. конец системы .$

На координатной плоскости Oab изобразим множество точек $левая круглая скобка a; b правая круглая скобка ,$ удовлетворяющих этим условиям. Получаем пересечение двух кругов радиуса 5 без границы. Для решения задачи необходимо найти такие значения b, при которых точки $левая круглая скобка a; b правая круглая скобка$ попадают в получившуюся область для любых $a принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 2 правая квадратная скобка .$ Такие значения b образуют интервал $левая круглая скобка b_1; b_2 правая круглая скобка .$ Нижнюю границу b₁ находим, подставляя $a= минус 1$ в уравнение окружности