Пункты A и B, находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной 4 км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта A из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через 1 час он обнаружил, что забыл ключи и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна 15 км/ч, а на аллее — 20 км/ч, а скорость пешехода — 7 км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.
Решение. Для определенности будем считать, что пешеход вышел на прогулку по кольцевой аллее против часовой стрелки. В пункте A у велосипедиста есть три возможности:
1. поехать по аллее против часовой стрелки;
2. поехать по шоссе;
3. поехать по аллее по часовой стрелке.
За 1 час прогулки пешеход прошел 7 километров и, миновав пункт B, не дошёл до пункта A целых 
км. Поэтому первый вариант точно дольше третьего и его можно исключить.
В третьем случае двигаясь по аллее они должны будут преодолеть расстояние км и в случае, если они будут двигаться навстречу друг другу, необходимое время равно 
ч.
Во втором случае при движении навстречу друг другу через 
ч пешеход достигнет пункта B, а велосипедист ещё будет ехать по шоссе (поскольку 
Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять 
км/ч. Значит, они встретятся через 
ч. Сравним числа, полученные в 2 и 3 случаях:
(второе и третье неравенство можно получить, например, делением в столбик). Следовательно, ответ достигается в 3-м случае.
Ответ: через 
ч.
Комментарий.
Отдельные участники понимали условие иначе, чем в приведенном решении: считали, что пешеход и велосипедист встретились через час и именно тогда пешеход попросил соседа велосипедиста привезти ему ключи. Поскольку в условии явно не сказано, где именно находился сосед, а при другой трактовки условия получается в целом аналогичная задача (хотя и с несколько более громоздким вычислением) жюри приняло решение засчитывать оба варианта трактовки условия. Приведём план решения для второй трактовки.
План решения второй трактовки.
Для определенности будем считать, что пешеход вышел на прогулку по кольцевой аллее против часовой стрелки. За 1 час прогулки пешеход прошел 7 километров и отошёл от пункта B на целых 
км. Точку, где сейчас находятся пешеход и велосипедист, назовём точкой C.
Поскольку скорость велосипедиста в любом случае больше скорости пешехода, то оптимальной стратегией будет
— велосипедисту максимально быстро доехать до пункта A;
— в это время пешеходу идти «навстречу» велосипедисту, рассчитав идти по шоссе или по аллее;
— велосипедисту и пешеходу продолжить двигаться навстречу друг другу.
Находясь в пункте C у велосипедиста есть две возможности: поехать по аллее против часовой стрелки или доехать до пункта B и поехать по шоссе. В первом случае велосипедист затратит 
ч, а во втором — 
ч. Сравним эти два числа:
Итак, велосипедист поедет в пункт A по аллее. Пусть он затратит на эту поездку время t. Тогда пешеход за это время может пройти расстояние 7t. Если велосипедист и пешеход договорятся встретиться на аллее, то тогда они смогут сделать это через 
ч; если же они договорятся встретится на шоссе, то — через 
ч. Сравним эти два времени:
Итак, пешеход и велосипедист встретятся на шоссе, то есть, через
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания | Балл |
|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Ответ: через
ч. 
