Докажите, что число 33n + 233n + 433n при нечётном n раскладывается в произведение хотя бы четырех (не обязательно различных) натуральных чисел, больших единицы.
Решение.
Число делится на 23, а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, так как делится на при нечётном По-другому можно это доказать так: (mod 23), значит, так как нечётно.
Теперь рассмотрим остатки по модулю 9. делится на 9. Число 23 даёт при делении на 9 остаток 5, а значит число даёт такой же остаток, как и то есть 8, а даёт остаток 1. Дальше остатки зацикливаются и даёт остаток 8 при нечётном n и остаток 1 при чётном. Число 43 даёт при делении на 9 остаток 7, а значит число даёт такой же остаток, как и то есть 1. Значит, даёт остаток 1 при делении на 9. Таким образом, сумма делится на 9.
Мы получили уже три множителя: 3, 3 и 23. Кроме того
поэтому есть хотя бы ещё один делитель.
Критерии проверки:
Доказано наличие трёх множителей — 1 балл.
Доказательство наличия двух множителей — не оценивается.
Утверждение о том, что сумма m-ых степеней двух чисел при нечётном m делится на сумму самих чисел принимать без доказательства.
делится на 23, а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, так как 
делится на 
при нечётном 
По-другому можно это доказать так: 
(mod 23), значит, 
так как 
нечётно.
делится на 9. Число 23 даёт при делении на 9 остаток 5, а значит число 
даёт такой же остаток, как и 
то есть 8, а 
даёт остаток 1. Дальше остатки зацикливаются и 
даёт остаток 8 при нечётном n и остаток 1 при чётном. Число 43 даёт при делении на 9 
даёт такой же остаток, как и 
то есть 1. Значит, 
даёт остаток 1 при делении на 9. Таким образом, сумма 
делится на 9.