Сумма и произведение трех попарно взаимно простых чисел делятся на 11. Может ли их сумма квадратов также делиться на 11?
Решение. Обозначим эти числа за x, y и z. Так как произведение чисел делится на 11, одно из чисел должно делиться на 11. Пусть это число x, тогда из условия взаимной простоты мы получаем, что ни y, ни z не делятся на 11. Далее,
Число 
делится на 11, а 
не делится, значит, и всё выражение не может делиться на 11.
Для участников, знакомы с техникой сравнения по модулю, можем предложить также такое решение: поскольку x и 
делятся на 11, 
откуда 
Значит, если сумма квадратов делится на 11, 
также должно делиться на 11, а это неверно.
Ответ: нет.
Критерии проверки:Только ответ «Нет» — 0 баллов.
Утверждение о том, что делящееся на p (т. е. на 13, 11, 7 или 17, в зависимости от варианта) число единственно и обозначение его за отдельную букву — 0,5 балла.
Вывод того, что (в обозначениях авторского решения) yz или делится на p (без указания на противоречие или то, что из этого немедленно следует решение задачи — маловероятно, но вдруг участник запутается). — ещё 1 балл, то есть всего 1,5 балла.
Несущественные алгебраические продвижения, например, доказательство того, что 
делится на p не оцениваются.
Ответ: нет.
Аналоги к заданию № 546: 589 Все
