Пусть D₁  — точка ка­са­ния сферы и грани ABC и За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BA₁D и BC₁D равны по трем сто­ро­нам   — ка­са­тель­ные к сфере из точки B,   — ка­са­тель­ные к сфере из точки D, BD  — общая сто­ро­на). Сле­до­ва­тель­но, (см. рис.).

Ана­ло­гич­но равны углы, под ко­то­ры­ми видно любое ребро тет­ра­эд­ра из точек ка­са­ния при­ле­га­ю­щих к нему гра­ней. В част­но­сти, и Кроме того, верны со­от­но­ше­ния

из ко­то­рых за­клю­ча­ем, что

Оста­лось сло­жить три по­лу­чен­ных ра­вен­ства и по­лу­чить урав­не­ние на

из ко­то­ро­го сле­ду­ет ответ.

Ответ: 125.

Пусть D₁  — точка ка­са­ния сферы и грани ABC и За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BA₁D и BC₁D paвны по трем сто­ро­нам   — ка­са­тель­ные к сфере из точки B, ка­са­тель­ные к сфере из точки D, BD общая сто­ро­на). Сле­до­ва­тель­но, (см. рис.). Ана­ло­гич­но равны углы, под ко­то­ры­ми видно любое ребро тет­ра­эд­ра из точек ка­са­ния при­ле­га­ю­щих к нему гра­ней. В част­но­сти, и Кроме того, верны со­от­но­ше­ния

из ко­то­рых за­клю­ча­ем, что

Оста­лось сло­жить три по­лу­чен­ных ра­вен­ства и по­лу­чить урав­не­ние на

из ко­то­ро­го сле­ду­ет ответ.

Ответ: 120.

Пусть D₁  — точка ка­са­ния сферы и грани ABC и За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BA₁D и BC₁D равны по трем сто­ро­нам   — ка­са­тель­ные к сфере из точки B,   — ка­са­тель­ные к сфере из точки D, BD  — общая сто­ро­на). Сле­до­ва­тель­но, (см. рис.). Ана­ло­гич­но равны углы, под ко­то­ры­ми видно любое ребро тет­ра­эд­ра из точек ка­са­ния при­ле­га­ю­щих к нему гра­ней. В част­но­сти, и Кроме того, верны со­от­но­ше­ния

из ко­то­рых за­клю­ча­ем, что

Оста­лось сло­жить три по­лу­чен­ных ра­вен­ства и по­лу­чить урав­не­ние на

из ко­то­ро­го сле­ду­ет ответ.

Ответ: 105.

Нач­нем с того, что если то про­цесс не­обя­за­тель­но за­кон­чит­ся. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим сле­ду­ю­щую рас­ста­нов­ку (мы вы­пи­сы­ва­ем числа в стро­ку для удоб­ства, но сле­ду­ет иметь в виду, что пер­вое и по­след­нее число в стро­ке яв­ля­ют­ся со­сед­ни­ми на окруж­но­сти):

Если мы вы­бе­рем 0 в ка­че­стве удач­но­го числа, то по­лу­чим сле­ду­ю­щую рас­ста­нов­ку

Не­труд­но ви­деть, что она по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­щей сдви­гом на одну по­зи­цию по ча­со­вой стрел­ке. Про­ве­дя такую опе­ра­цию 450 раз, мы при­дем в ис­ход­ную по­зи­цию и смо­жем про­дол­жать про­цесс бес­ко­неч­но. При легко стро­ит­ся ана­ло­гич­ный при­мер.

До­ка­жем те­перь, что если то про­цесс обя­за­тель­но за­сто­по­рит­ся. Для этого об­ра­тим вни­ма­ние на нули (хотя бы один ноль обя­за­тель­но есть, по­сколь­ку Нули раз­би­ва­ют окруж­ность на не­сколь­ко дуг. Одна из них долж­на быть за­пол­не­на еди­ни­ца­ми, иначе сумма чисел на каж­дой дуге хотя бы на 1 боль­ше ко­ли­че­ства чисел в ней, и тогда общая сумма будет не мень­ше 450. Вы­бе­рем наи­мень­шую из дуг, за­пол­нен­ных еди­ни­ца­ми (воз­мож­но, это дуга длины ноль, то есть про­сто два рядом сто­я­щих нуля). За­ме­тим, что длина такой наи­мень­шей дуги не уве­ли­чи­ва­ет­ся при про­ве­де­нии опе­ра­ций, a если про­во­дит­ся опе­ра­ция, за­тра­ги­ва­ю­щая эту дугу, то длина стро­го умень­ша­ет­ся. Дей­стви­тель­но, при про­ве­де­нии опе­ра­ции с еди­ни­цей внут­ри, дуга раз­ры­ва­ет­ся на мень­шие части  — одну двой­ку и две дуги, за­пол­нен­ные еди­ни­ца­ми. При про­ве­де­нии опе­ра­ции с нулем на конце, дуга, оче­вид­но, уко­ра­чи­ва­ет­ся на одну еди­ни­цу.

Итак, длина наи­мень­шей дуги не уве­ли­чи­ва­ет­ся, и, рано или позд­но, она либо со­жмет­ся в пару со­сед­них нулей, опе­ра­ции с ко­то­ры­ми ста­нут не­воз­мож­ны, либо опе­ра­ций, за­тра­ги­ва­ю­щих эту дугу, на­чи­ная с не­ко­то­ро­го мо­мен­та про­во­дит­ся не будет.

Если про­цесс про­дол­жа­ет­ся бес­ко­неч­но долго, то ком­би­на­ция чисел по кругу рано или позд­но по­вто­рит­ся. Пусть по­вто­ри­лась по­зи­ция a₁, a₂, ..., a₄₅₀, при этом между по­вто­ре­ни­я­ми число на пер­вой по­зи­ции вы­би­ра­ли в ка­че­стве удач­но­го x₁ раз, число на вто­рой по­зи­ции  — x₂ раз, ..., число на 450-й по­зи­ции  — x₄₅₀ раз. Тогда, по­сколь­ку все числа после всех опе­ра­ций не из­ме­ни­лись, имеют место со­от­но­ше­ния

Из них сле­ду­ет, что (до­ста­точ­но рас­смот­реть мак­си­маль­ное из x_j и по­нять, что со­сед­ние с ним сов­па­да­ют).

Под­ве­дем итог. За­цик­ли­ва­ние воз­мож­но, толь­ко если на каж­дую по­зи­цию при­хо­дит­ся не­ну­ле­вое ко­ли­че­ство вы­бо­ров удач­но­го числа. Од­на­ко, как мы до­ка­за­ли выше в слу­чае, когда сумма чисел равна 449, по­явит­ся зона чисел, с ко­то­рой опе­ра­ции более не про­во­дят­ся. Это и озна­ча­ет, что про­цесс будет ко­неч­ным.

Ответ: 449.