Найдите все непрерывные на всей числовой оси функции, удовлетворяющие тождеству и условию
Решение.
Вначале докажем, что Действительно,
Подставив в условие задачи получаем откуда или Если то откуда для любого x, что неверно. Следовательно, Подставляя получаем то есть Отсюда для любого натурального n находим
Также легко по индукции доказать формулу
откуда, в частности,
Значит, откуда для всех натуральных Отсюда
для натуральных m и Теперь разберёмся с отрицательными дробями:
откуда
Таким образом, функция для всех рациональных чисел. Функция в правой част и равенства также непрерывна, а если две функции совпадают для всех рациональных чисел, то они совпадают на всей вещественной оси.
и условию 
Действительно, 
получаем 
откуда 
или 
Если 
для любого x, что неверно. Следовательно, 
получаем 
то есть 
Отсюда для любого натурального n находим 
откуда 
для всех натуральных 
Отсюда 
для всех рациональных чисел. Функция в правой част и равенства также непрерывна, а если две функции совпадают для всех рациональных чисел, то они совпадают на всей вещественной оси.